Câu hỏi:
17/06/2026 75Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
* Lời giải:
a) Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = 3x2 – 6x2
y' = 0 ⇔ 3x2 – 6x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và yCĐ = y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và yCT = y(2) = −2.
Ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (3; 2); (2; −2); (−1; −2); (0; 2).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 0).
Đồ thị hàm số như sau:
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).
Ta có: y'(1) = −3.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó là:
y = y'(1)(x – 1) + y(1)
= −3(x – 1) + 0
= −3x + 3 (∆).
Ta có: y' = 3x2 – 6x = 3(x2 – 2x + 1) – 3 = 3(x – 1)2 – 3 ≥ −3 với mọi x.
Vậy ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Ta có: x3 – 3x2 – m = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = m + 2.
Vậy phương trình x3 – 3x2 – m = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2. Suy ra, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m + 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt, điều này tương đương với −2 < m + 2 < 2 ⇔ −4 < m < 0.
* Phương pháp giải:
Câu a: Tìm tập xác định của hàm số. Tính đạo hàm và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0. Xét dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Tính giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt để xác định cực trị. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
Câu b: Xác định tâm đối xứng của đồ thị bằng cách tìm điểm có đối xứng qua nó. Tính đạo hàm tại tâm đối xứng để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Lập phương trình tiếp tuyến tại tâm đối xứng bằng công thức đường thẳng.
Câu c: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng cho trước. Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc ba và xét điều kiện để có ba nghiệm phân biệt. Suy ra điều kiện của tham số để thỏa mãn bài toán.
* Lý thuyết nắm thêm về đạo hàm
1) Đạo hàm của một hàm số lượng giác
|
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản |
Đạo hàm các hàm hợp u = u(x) |
|
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 |
|
|
|
|
2) Các quy tắc tính đạo hàm
Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1. (u + v)’ = u’ + v’
2. (u – v)’ = u’ – v’
3. (u.v)’ = u’.v + v’.u
4.
Chú ý:
a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)
b)
Mở rộng:
3) Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó:
Phương pháp giải
- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:
Quy tắc tính đạo hàm và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Để bơm đầy 1 khí cầu có thể tích có áp suất 0,1atm ở nhiệt độ không đổi người ta dùng các ống khí heli có thể tích 50 lít ở áp suất 100atm. Tính số ống khí heli cần để bơm khí cầu?
Câu 2:
Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm và chiều dài 80cm người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x(cm) với 5 ≤ x ≤ 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 4:
Một công ty tiến hành khai thác 17 giếng dầu trong khi vực được định. Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất được 245 thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn 17 giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày giảm 9 thùng. Để giám đóc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp với tài chính, hãy chỉ ra số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất tăng lên.
Câu 6:
Phương trình sin (x+ )+cos x=0 có bài tập nào được biểu hiện bởi bao nhiêu
điểm trên đường tròn giác?
Câu 8:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos( 5x- )=cos(2x-) trên [0;]
Câu 9:
Hai bến sông A, B cách nhau 200 km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi ngược từ B trở về A hết tổng thời gian là 9 giờ. Biết thời gian ca nô xuôi dòng 5 km bằng thời gian ca nô ngược dòng 4 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc của dòng nước
Câu 10:
Trong tháng 12, lớp 12A dự kiến quyên góp tiền để làm từ thiện như sau: Ngày đầu tiên góp được mỗi bạn bỏ 2000 đồng vào lợn, từ ngày thứ hai mỗi bạn bỏ vào lợn hơn ngày liên trước là 500 đồng. Hỏi sau 28 ngày lớp 12A quyên góp được bao nhiêu tiền? Biết lớp có 40 bạn
Câu 11:
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab2 = 9. Gía trị của log3a + 2log3b bằng
Câu 13:
Cho Hình18: Biết AC là tia phân giác góc BAx,Góc C=55 độ,Góc A=70 độ. Tính góc CAx,cm;:Ax//BC
Câu 14:
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M sao cho AM=2CM và N là trung điểm của AD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của . Giao điểm của BC với (OMN) là giao điểm của BC với
Câu 15:
Một khu vườn hình chữ nhật. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 4m thì diện tích của mảnh vườn tăng thêm 216m2, nếu chiều rộng tăng thêm 2m và chiều dài giảm đi 5m thì diện tích mảnh vườn sẽ giảm đi 50m2
