Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đồ thị như hình bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(\frac{6{\text{x}}^2}{x^4+x^2+1}+2\right)+1=m$  có nghiệm?

Đáp án C

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Đặt $u=\frac{6{\text{x}}^2}{x^4+x^2+1}+2$ .

Ta có $u^{\text{'}}=\frac{-12{\text{x}}^5+12\text{x}}{{\left(x^4+x^2+1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$ .

Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình $f\left(u\right)=m-1$  có nghiệm $u\in \left[2;4\right]$ .

Dựa vào đồ thị đề bài cho suy ra $f\left(u\right)=m-1$  có nghiệm $\iff 1\le m-1\le 5\iff 2\le m\le 6$ .

Cách 2: Phương pháp ghép trục

 $f\left(x\right)$có cực trị hoành độ $x=1;x=2$ .

Đặt $u=\frac{6{\text{x}}^2}{x^4+x^2+1}+2;=\frac{-12{\text{x}}^5+12\text{x}}{{\left(x^4+x^2+1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$ .

Suy ra $f\left(u\right)=m-1$  có nghiệm $\iff 1\le m-1\le 5\iff 2\le m\le 6$ .

Các bước thực hiện phương pháp ghép trục: Bước 1:Tìm tập xác định của hàm $g=f\left(u\left(x\right)\right)$ , giả sử ta được tập xác định $D=\left(a_1;a_2\right)\cup \left(a_3;a_4\right)\cup \mathrm{...}\cup \left(a_{n-1};a_n\right)$ . Ở đây có thể là  $a_1\equiv -\infty ;{\text{ a}}_n\equiv +\infty$. Bước 2: Xét sự biến thiên của $u=u\left(x\right)$  và hàm $y=f\left(x\right)$  (Có thể làm gộp trong bước 3 nếu đơn giản). Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa $\left[x;u=u\left(x\right)\right]$  và $\left[u;g=f\left(u\right)\right]$ . Bảng này thường có 3 hàng dạng Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau Hàng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm $u=u\left(x\right)$ , sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, giả sử: $a_1<a_2<\mathrm{...}<a_{n-1}<a_n$(xem chú ý 1). Hàng 2: Điền các giá trị $u_i=u\left(a_i\right)$  với $\left(i=\overline{\mathrm{1,...,}n}\right)$ . Trên mỗi khoảng $\left(u_i;u_{i+1}\right)\overline{i=\mathrm{1,}n-1}$  cần bổ sung các điểm kỳ dị $b_1;b_2;\mathrm{...};b_k$  của hàm $y=f\left(x\right)$ . Trên mỗi khoảng $\left(u_i;u_{i+1}\right)\overline{i=\mathrm{1,}n-1}$  cần sắp xếp các điểm $u_i;b_k$  theo thứ tự chẳng hạn: $u_i<b_1<b_2<\mathrm{...}<b_k<u_{i+1}$  hoặc $u_i>b_1>b_2>\mathrm{...}>b_k>u_{i+1}$  (xem chú ý 2). Hàng 3: Xét chiều biến thiên của hàm $g=f\left(u\left(x\right)\right)$  dựa vào bảng biến thiên của hàm $y=f\left(x\right)$  bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x; $f\left(u\right)$  đóng vai trò của $f\left(x\right)$ . Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp $g=f\left(u\left(x\right)\right)$  ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này. Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp $g=f\left(u\left(x\right)\right)$  giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận. Chú ý 1: + Các điểm kỳ dị của $u=u\left(x\right)$  gồm: Điểm biên của tập xác định D và các điểm cực trị của $u=u\left(x\right)$ . + Nếu xét hàm $u=\left|u\left(x\right)\right|$  thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình $u\left(x\right)=0$  (là hoành độ giao điểm của $u=u\left(x\right)$  với trục Ox). + Nếu xét hàm $u=\left|u\left(x\right)\right|$  thì trong dòng 1, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của $u=u\left(x\right)$  với trục Oy). Chú ý 2: + Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của $u=u\left(x\right)$ . + Điểm kỳ dị của $y=f\left(x\right)$  gồm: Các điểm tại đó$f\left(x\right)$  và $f^{\text{'}}\left(x\right)$  không xác định; các điểm cực trị hàm số $y=f\left(x\right)$ . + Nếu xét hàm $g=\left|f\left(u\left(x\right)\right)\right|$ thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$  (là hoành độ giao điểm của $u=u\left(x\right)$  với trục Ox). + Nếu xét hàm $g=\left|f\left(u\left(x\right)\right)\right|$  thì trong dòng 2, các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của $y=f\left(x\right)$  với trục Oy).