Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[-2;3\right]$, có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Đáp án đúng là D

Lời giải

Giá trị cực tiểu của hàm số là -2-loại A

Giá trị cực đại của hàm số là 1-loại B

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-a -loại C

*Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 2. Tìm các điểm tại đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

*Lý thuyết:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:

+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

$$\begin{gathered} \forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2 \\ \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right) \end{gathered}$$

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

$$\begin{gathered} \forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2 \\ \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right) \end{gathered}$$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Nhận xét:

+ Hàm số f(x) đồng biến trên K:

$$\begin{gathered} \iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0\forall x_1,x_2\in K, \\ {x}_1\ne x_2. \end{gathered}$$

Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K :

$$\begin{gathered} \iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<0\forall x_1,x_2\in K, \\ {x}_1\ne x_2. \end{gathered}$$

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(a;b\right)\Rightarrow$ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)<0,\forall x\in \left(a;b\right)\Rightarrow$ hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)=0,\forall x\in \left(a;b\right)\Rightarrow$ hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)

• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng:

$\left(a;b\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(a;b\right).$

• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng:

$\left(a;b\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in \left(a;b\right).$

• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Xem thêm

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ) chi tiết nhất – Toán 12 

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án ) – Toán 12