Câu hỏi:
17/06/2026 135Cho hàm số f(x) thỏa mãn \[{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} + {x^2}.f'\left( x \right) = 2{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 0 \right) = 2.\] Tích phân \[\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} \] bằng
A.26.
B.66.
C.42.
D.102.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn đáp án B
Ta có \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} + {x^2}.f'\left( x \right) = 2{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2}\left( {x + 1} \right)\)
\( \Rightarrow {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^3} - {\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2}\left[ {f'\left( x \right) - x - 1} \right] = 0\)
\( \Rightarrow \left[ {f'\left( x \right) - x - 1} \right].\left[ {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} + \left( {x + 1} \right).f'\left( x \right).{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {x^2}} \right] = 0\)(1)
Lại có \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + \left( {x + 1} \right).f'\left( x \right).{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} = {\left[ {f'\left( x \right) + \frac{{x + 1}}{2}} \right]^2} + \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right) + \frac{{x + 1}}{2}} \right]^2} = \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^2} = {x^2} = 0.\)
Đây là điều kiện vô lý nên dấu “=” không xảy ra \( \Rightarrow {\left[ {f'\left( x \right) + \frac{{x + 1}}{2}} \right]^2} + \frac{3}{4}{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} >0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó (1) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C.\)
Mà \[f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + x + 2 \Rightarrow \int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^6 = 66.\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thang \[ABCD\] có \[\widehat {BAD} = \widehat {ADC} = 90^\circ \] và \[AB = 8,{\rm{ }}CD = BC = 5.\] Tính thể tích V của khối tròn xoay, nhận được khi quay hình thang \[ABCD\] xung quanh trục \[AB.\]
Câu 2:
Tính \[P = \frac{1}{{{{\log }_2}2020!}} + \frac{1}{{{{\log }_3}2020!}} + \frac{1}{{{{\log }_4}2020!}} + .... + \frac{1}{{{{\log }_{2020}}2020!}}.\]
Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\sqrt 2 \] và chiều cao bằng \[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
Câu 4:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[4f\left( x \right) - 1 = 0\] có số nghiệm thực là
Câu 5:
Hình phẳng \[\left( H \right)\] được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol \[\left( P \right)\] có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng
Câu 6:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
Câu 7:
Trong không gian Oxyz,cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y + 4z + 6 = 0\] và \[\left( Q \right):2x + 3y - 4z + 5 = 0.\] Kí hiệu α là góc giữa (P) và (Q). Tính \[P = \cos \alpha .\]
Câu 8:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \[y = \left| {f\left( {x - 2020} \right) + m} \right|\] có đúng 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
Câu 9:
Trong không gian Oxyz,cho hai điểm \[A\left( {1; - 3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2; - 2;3} \right).\] Tìm tọa độ điểm K đối xứng với A qua B.
Câu 10:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{m\cos x - 16}}{{\cos x - m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\]?
Câu 11:
Tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{{12}}} {\sin 3xdx} \] bằng
Câu 12:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị (C) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] được tính theo công thức?
Câu 13:
Cho hai số thực dương a và b, với \[a \ne 1.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 14:
Biết \[M\left( {1;0} \right),{\rm{ }}N\left( {0;1} \right)\] là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y = a{x^4} + b{x^2} + c.\] Tính giá trị của hàm số tại \[x = 3.\]
Câu 15:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ ?
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2^ f(x) + 4/ f(x) + log 2 [f^2(x) - 4f(x) + 5] = m có 6 nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid5-1683269005.png)
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số g(x) = f(x^3/9) - m(x^2 + 9)^2/18 nghịch biến trên khoảng (0;5)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid3-1683268811.png)