Câu hỏi:
17/06/2026 255Cho hàm số \[f(x)\]có \[f'(x) = \sin (2x).co{s^2}(4x)\]và \[f(0) = 0\]. Tính \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} \] bằng:
A. \[\frac{{7\pi }}{{60}}\].
B. \[\frac{{7\pi }}{{50}}\].
C. \[\frac{\pi }{{10}}\].
D. \[\frac{{7\pi }}{{30}}\].
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có
\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \sin \left( {2x} \right).co{s^2}\left( {4x} \right) \Rightarrow \int {f'\left( x \right)dx = \int {\sin \left( {2x} \right).co{s^2}\left( {4x} \right)dx} } \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int {\sin \left( {2x} \right).\frac{{1 + \cos \left( {8x} \right)}}{2}} dx\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{4}\cos \left( {2x} \right) + \frac{1}{4}\int {\left( {\sin 10x - \sin 6x} \right)} dx\\ \Leftrightarrow f(x) = \frac{{ - 1}}{4}\cos 2x - \frac{1}{{40}}\cos 10x + \frac{1}{{24}}\cos 6x + C\end{array}\]
\[f(0) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{7}{{30}}\]
Vậy \[f(x) = \frac{{ - 1}}{4}\cos \left( {2x} \right) - \frac{1}{{40}}\cos \left( {10x} \right) + \frac{1}{{24}}\cos \left( {6x} \right) + \frac{7}{{30}}\]
Do đó:
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{8}\sin 2x - \frac{1}{{400}}\sin 10x + \frac{1}{{144}}\sin 6x + \frac{7}{{30}}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{7\pi }}{{60}}\]
Chọn đáp án A
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \[4\pi {a^2}\] và bán kính đáy bằng \[a\sqrt 2 \]. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trên \(\left[ { - 2020;{\rm{ }}2020} \right]\) để hàm số \(y = {\log _{2020}}\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
Câu 3:
Cho khối cầu có thể tích \(V = 972\pi \). Đường kính của khối cầu bằng:
Câu 4:
Cho hàm số bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình \[f\left( {2\cos x} \right) = 2\] có bao nhiêu nghiệm \[x \in \left[ {0;3\pi } \right]\]?
Câu 5:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {8m + 1} \right)x\] đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 6:
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây ?
Câu 7:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 2}}{{x + 1}}\left( C \right)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) thỏa mãn: \(AB = \sqrt 5 \).
Câu 8:
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x\) và \(y = 2x\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
Câu 9:
Cho\[x\], \[y\], \[z\] là các số thực khác \[0\]thỏa mãn\[{2^x} = {3^y} = {6^{ - z}}\]. Tính giá trị biểu thức \[M = xy + yz + zx\].
Câu 10:
Cho \[f\left( x \right),\,g\left( x \right)\] là hai hàm số liên tục. Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 11:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\). Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt bên \(\left( {BCC'B'} \right)\).
Câu 13:
Bất phương trình sau có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên \({4^x} - {33.2^x} + 32 \le 0\).
Câu 14:
Cắt hình trụ \[\left( T \right)\] bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng \[20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]và chu vi bằng \[18\,{\rm{cm}}\]. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ \[\left( T \right)\]. Diện tích toàn phần của hình trụ là
Câu 15:
Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn bạn An, Bình, Cường, Dũng ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ?
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2^ f(x) + 4/ f(x) + log 2 [f^2(x) - 4f(x) + 5] = m có 6 nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid5-1683269005.png)
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số g(x) = f(x^3/9) - m(x^2 + 9)^2/18 nghịch biến trên khoảng (0;5)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid3-1683268811.png)