Cho hàm số $f\left(x\right).$ Bảng biến thiên của hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ như sau:

  Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x^2-2x)$

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Xét $y=f\left(x^2-2x\right)\Rightarrow y^{\prime }=\left(2x-2\right).f^{\prime }\left(x^2-2x\right)$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ f^{\prime }\left(x^2-2x\right)=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x^2-2x=x_1\in \left(-\infty ;-1\right)\\ x^2-2x=x_2\in \left(-1;0\right)\\ x^2-2x=x_3\in \left(0;1\right)\\ x^2-2x=x_4\in \left(1;+\infty \right)\end{array}$

Trường hợp 1: $x^2-2x=x_1\in \left(-\infty ;-1\right)\iff x^2-2x-x_1=0.$

Ta có ${\Delta }^{\prime }=1-1.\left(-x_1\right)=1+x_1<0,\forall x_1\in \left(-\infty ;-1\right)$ nên phương trình vô nghiệm. Suy ra trường hợp này không có điểm cực trị.

Trường hợp 2: $x^3-2x=x_2\in \left(-1;0\right)\iff x^2-2x-x_2=0.$

Ta có ${\Delta }^{\prime }=1-1.\left(-x_2\right)=1+x_2>0,\forall x_2\in \left(-1;0\right)$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.

Trường hợp 3: $x^2-2x=x_3\in \left(0;1\right).$ Xét thấy hệ số $a$ và $c$ trong phương trình luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.

Trường hợp 4: $x^2-2x=x_4\in \left(1;+\infty \right).$ Xét thấy hệ số $a$ và $c$ trong phương trình luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.

 Mặt khác, các hệ số trong các phương trình ở trường hợp 2, 3, 4 vừa xét đều khác nhau hệ số $c$ nên các nghiệm của phương trình này đều khác nhau và đều khác 1.

* Phương pháp giải:

Đặt t=x²−2x. Tính đạo hàm y′=(2x−2)f′(x²−2x) và cho y′=0.

Xét các trường hợp của t dựa trên các khoảng nghiệm của f′(t)=0.

Với mỗi trường hợp, giải phương trình x²−2x=t và kiểm tra số nghiệm phân biệt.

Tổng số nghiệm phân biệt là số điểm cực trị của hàm số.

* Lý thuyết thêm về cực trị hàm số:

+) Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì f‘(xo) = 0.

 +) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x0 -h: x0 +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên$K\backslash \text{{}{x}_0\text{}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và trên $(x_0;x_0+h)$ thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f '(x) > 0 trên $(x_0;x_0+h)$ thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f ‘(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo
b) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

* Dạng bài về cực trị hàm số: 

a) Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

* Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

b) Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

* Phương pháp. Sử dụng định lí 2 và định lí 3

* Cực trị của hàm số bậc ba: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0

c) Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải: Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số)
Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án)

Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án)