Câu hỏi:
17/06/2026 121Cho hai số phức \[z,{\rm{ }}w\] thỏa mãn \[z + w = 3 + 4i\] và \[\left| {z - w} \right| = 9\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[T = \left| z \right| + \left| w \right|\].
A.4.
B.14.
C.\[\sqrt {176} .\]
D.\[\sqrt {106} .\]
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Chọn đáp án D
Giả sử \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Từ \(z + w = 3 + 4i \Rightarrow w = \left( {3 - x} \right) + \left( {4 - y} \right)i\).
Ta có \(z - w = \left( {2x - 3} \right) + \left( {2y - 4} \right)i \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2} + {{\left( {2y - 4} \right)}^2}} = 9\)
\( \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 12x - 16y - 56 = 0 \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 8y - 28 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có \(T = \left| z \right| + \left| w \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có \({T^2} \le 2\left[ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} \right]\)
\( \Rightarrow {T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 8y + 25} \right) = 2\left( {28 + 25} \right) \Rightarrow T \le \sqrt {106} \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 25 - 6x - 8y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{25 - 6x}}{8}\).
Thế vào (1) ta được \({x^2} + {\left( {\frac{{25 - 6x}}{8}} \right)^2} - 3x - 4.\frac{{25 - 6x}}{8} - 14 = 0\)
\( \Leftrightarrow 64{x^2} + \left( {36{x^2} - 300x + {{25}^2}} \right) - 192x - 32\left( {25 - 6x} \right) - 896 = 0\)
\( \Leftrightarrow 100{x^2} - 300x - 1071 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{51}}{{10}} \Rightarrow y = - \frac{7}{{10}}\\x = - \frac{{21}}{{10}} \Rightarrow y = \frac{{47}}{{10}}\end{array} \right.\)
Vậy \({T_{\max }} = \sqrt {106} \) đạt được chẳng hạn khi \(z = \frac{{51}}{{10}} - \frac{7}{{10}}i,{\rm{ }}w = - \frac{{21}}{{10}} + \frac{{47}}{{10}}i\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \[\widehat {BAC} = 60^\circ .\] Cạnh \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[BD\] bằng
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 5m} \right){x^2} + 1\] có ba điểm cực trị?
Câu 4:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;e} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_1^e {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 1\] và \[f\left( e \right) = 1.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_1^e {f'\left( x \right).\ln xdx} .\]
Câu 5:
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y = 2{x^2} - 1\] và nửa đường tròn có phương trình \[y = \sqrt {2 - {x^2}} \] (với \[ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \]) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
Câu 6:
Có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5?
Câu 7:
Tìm số nghiệm thực của phương trình \[{\left( {\left| x \right| - 1} \right)^2}.{e^{\left| x \right| - 1}} - \log 2 = 0.\]
Câu 8:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \[2f\left( x \right) - 11 = 0\] có số nghiệm thực là
Câu 9:
Cho a và b là hai số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 10:
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có diện tích các mặt \[ABCD,{\rm{ }}ABB'A',{\rm{ }}ADD'A'\] lần lượt là 4, 9, 16. Thể tích của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] bằng
Câu 11:
Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = - 3\] và \[x = 0\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 13:
Cho \[{9^x} + {9^{ - x}} = 14.\] Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{6 - 3\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{12 + {3^{x + 1}} + {3^{1 - x}}}}.\]
Câu 14:
Cho hàm số \[y = \ln \left( {{x^2} + 4} \right) + \left( {10 - {m^2}} \right)x\], với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Câu 15:
Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right),{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t'}\\{y = 4}\\{z = 1 - 3t'}\end{array}} \right.\left( {t' \in \mathbb{R}} \right).\]Mặt phẳng \[\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\] đi qua điểm \[A\left( {1; - 2;1} \right),\] đồng thời song song với đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}.\] Tính \[a + b + c.\]
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2^ f(x) + 4/ f(x) + log 2 [f^2(x) - 4f(x) + 5] = m có 6 nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid5-1683269005.png)
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số g(x) = f(x^3/9) - m(x^2 + 9)^2/18 nghịch biến trên khoảng (0;5)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid3-1683268811.png)