Cho  f(x) là hàm số bậc ba thỏa mãn f(0) = 2 và f'(1) = 0. Hàm số f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $g\left(x\right)=\left|f^3\left(\right|x\left|\right)-3f^2\left(\right|x\left|\right)-2021\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Chọn A.

Giả sử $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c.$

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra đồ thị hàm số f'(x) đối xứng nhau qua trục tung nên là hàm chẵn suy ra b = 0.

Khi đó $f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+c.$

Mặt khác cũng từ bảng biến thiến và giả thiết, ta có $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=-3\\ f\text{'}\left(1\right)=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=-3\\ 3a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=-3\end{array}\right..$

Khi đó $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x+C.$

Mà $f\left(0\right)=2\iff C=2$.

Vậy $f\left(x\right)=x^3-3x+2.$

Xét hàm số $h\left(x\right)=f^3\left(\left|x\right|\right)-3f^2\left(\left|x\right|\right)-2021,$ ta thấy h(x) là một hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng, vì vậy số điểm cực trị của h(x) chính bằng hai lần số cực trị dương của hàm số $p\left(x\right)=f^3\left(x\right)-3f^2\left(x\right)-2021$ công thêm 1.

Xét hàm số $p\left(x\right)=f^3\left(x\right)-3f^2\left(x\right)-2021$ trên $\left(0;+\infty \right)$ ta có $p\text{'}\left(x\right)=3f\text{'}\left(x\right)f^2\left(x\right)-6f\text{'}\left(x\right)f\left(x\right).$

$p\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}3x^2-3=0\\ x^3-3x+2=0\\ x^3-3x+2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=0\\ x=\sqrt{3}\end{array}\right.$ (do x > 0).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta suy ra số điểm cực trị của hàm số h(x) là 2.2 + 1 = 5

Mặt khác, đồ thị của hàm số g(x) đối xứng qua Ox, do đó số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số h(x) cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình h(x) = 0.

Dựa vào bảng biến thiên ta có thấy h(x) = 0 có ha nghiệm bội đơn.

Vậy hàm số g(x) có tất cả 5 + 2 = 7 điểm cực trị.