Câu hỏi:
21/07/2024 4,730Cho đường tròn (O; R), đường kính BC cố định và điểm A cố định thuộc đoạn thẳng OB (A không trùng với O và B). Kẻ dây PQ ⊥ BC tại A. Lấy M thuộc cung lớn PQ (M không trùng với C). Nối BM cắt PQ tại E. Chứng minh:
a. Tứ giác AEMC nội tiếp
b. BP2 = BE. BM = BA.BC
c. Từ E kẻ đường thẳng song song BC cắt PC tại I. Chứng minh: và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM nằm trên một đường thẳng cố định khi M di chuyển trên cung lớn PQ.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a. = 90° (EA vuông góc AC)
= 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác ABOC có + = 90° + 90° = 180°
Suy ra tứ giác AEMC nội tiếp (đpcm).
b. Xét ∆ BAP và ∆ BPC có:
là góc chung
= 90° ( là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra ∆ BAP ∆ BPC (g.g)
Từ đó suy ra (1)
Xét ∆ BEA và ∆ BCM có:
là góc chung
(tứ giác AEMC nội tiếp)
Suy ra ∆ BEA ∆ BCM (g.g)
Từ đó suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BP2 = BE. BM = BA.BC (đpcm)
c. Ta có:
(hai góc đồng vị).
(tứ giác PMCB nội tiếp đường tròn O).
Suy ra .
Tứ giác EPMI có suy ra tứ giác EPMI nội tiếp.
Ta có: = 90°
Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPMI.
Mà ta có = 90° dẫn đến PI là đường kính .
Suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM là trung điểm của PI.
Mà điểm này cũng thuộc đường thẳng PC với P và C cố định nên ta suy ra điều phải chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = .
Câu 2:
Cho phương trình: m2x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m là tham số) (1)
a. Giải phương trình với m = 1.
b. Tìm m nguyên nhỏ nhất để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Câu 4:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Một khách du lịch đi trên ôtô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km?
