Cho đường cong  . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

(d): x - 4y – 21 = 0.

Đáp án đúng là C

Lời giải

Tập xác định D = R \ {1}. Ta có 

Có 

Vì tiếp tuyến song song với d nên k_tt = k_d = 1/4.

Gọi M(x_o; y_o) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f’(x₀) = k­_tt 

⇔ (1- x_o )² = 16 ⇔ x_o = 5 ∨ x_o = -3

Với x_o = 5 ⇒ y_o = -4, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 

 (loại, vì trùng với d).

Với x_o = -3 ⇒ y_o = -2, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: 

 

Hay 4y = x - 5 $\iff$x - 4y -  5 =0

*Phương pháp giải:

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

*Lý thuyết:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Từ một điểm trên đường tròn ta có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm đó. Từ một điểm ngoài đường tròn, ta có hai tiếp tuyến với đường tròn đi qua điểm đó.

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm ngoài đường tròn

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $N(x_0;y_0)$ nằm ngoài đường tròn (C).

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$ (1)

+ Có $d(I,d)=R$ ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến song song với phương cho sẵn có hệ số góc k

Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + m (m chưa biết)

kx - y + m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (d) = R ta tìm được m

Ta luôn tìm được 2 tiếp tuyến

Xem thêm

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (lý thuyết, công thức và cách giải các dạng bài tập) 

50 bài tập về tiếp tuyến (có đáp án 2024) và cách giải