Cho biểu thức $f\left(x\right)=\frac{1}{{2018}^x+\sqrt{2018}}.$ Tính tổng sau

$$\begin{gathered} S=\sqrt{2018}[ f\left(-2017\right)+f\left(-2016\right)+\mathrm{...} \\ +f\left(0\right)+f\left(1\right)+\mathrm{...}+f\left(2018\right)] \end{gathered}$$

Tính đạo hàm của hàm số $y={\left(x^3-3x^2\right)}^{2017}$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm là $f\text{'}\left(x\right)$. Đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ được cho như hình vẽ bên. Biết rằng $f\left(0\right)+f\left(3\right)=f\left(2\right)+f\left(5\right).$ Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ trên đoạn $[0;5]$ lần lượt là

Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm $A\left(-2;0\right),B\left(-2;2\right)\text{, }C\left(4;2\right),D(4;0).$ Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M( x;y) mà $x+y<2$

Cho phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ công nhan viên giấy in…) được cho bởi $C\left(x\right)=0,0001x^2-0,2x+10000,C\left(x\right)$ được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ với T( x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M( x) thấp nhất tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véc tơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;2\right),\overrightarrow{c}=\left(1;-1;0\right).$ Tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn biểu thức $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $x_0\in \left(a;b\right).$ Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

(1). Hàm số đạt cực trị tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ 

(2). Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_0$ thoả mãn điều kiện $f\text{'}\left(x_0\right)=f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì điểm $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$

(3). Nếu $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu khi x qua $x_0$ thì điểm $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số $y=f\left(x\right)$

(4). Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_0$ thoả mãn điều kiện $f\text{'}\left(x_0\right)=0;f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì điểm $x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2+3x+1$ tại điểm có hoành độ $x_0=2$

Tìm m để hàm số $y=x^3-3x^2+mx+2$ tăng trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

Tính đạo hàm của hàm số $y=2\sin 3x+cos2x$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên và $f\text{'}\left(x\right)>0,\forall x>0.$ Biết $f\left(1\right)=2$ khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng ( BCD) và ( ABC) Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $AB=2a;BC=a;SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt đáy $\left(ABCD\right).$ Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

Nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)=4x^3-3x^2+2$ trên tập số thực thỏa mãn $F\left(-1\right)=3$ là:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là những tam giác đều cạnh bằng 1, $AD=\sqrt{2}.$ Gọi O là trung điểm cạnh AD. Xét hai khẳng định sau:

$\left(I\right)O$là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

$\left(II\right)O\text{.}ABC$ là hình chóp tam giác đều.

Hãy chọn khẳng định đúng

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty )$và thỏa mãn $f\left(1\right)=1,f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1},$ với $\forall x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?