Biết $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}*)$ là giá trị của tham số thực m để cho hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2\left(3m^2-1\right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1.$ Tính giá trị biểu thức $S=a^2+b^2.$

Phương trình $\sin 2x\cos x=\sin 7x\cos 4x$ có các họ nghiệm là :

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $cos\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)=1$ trên $\left[0;2\pi \right]$ bằng:

Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình $x^2-x-2+a\ln \left(x^2-x+1\right)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in ℝ.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết đường thẳng $y=\left(3m-1\right)x+6m+3$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z=0.$ Đường thẳng $∆$ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục?

Cho điểm $A\left(2;-1;0\right)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}.$ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.

Trong các hàm số $f_1\left(x\right)=\mathrm{s}\text{inx},f_2\left(x\right)=\sqrt{x+1},f_3\left(x\right)=x^3-3x$ và $f_4\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x-1}khix\ge 1\\ 2-xkhix<1\end{array}\right.$ có tất cả bao nhiêu hàm số là hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left(-10;10\right)$ để hàm số $y=m^2{x}^4-2\left(4m-1\right)x^2+1$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)?$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ và $f\left(0\right)+f\left(1\right)=0.$ Biết rằng tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{2},\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right).cos\pi xdx=\frac{\pi }{2}.$Tính tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx?$

Cho hàm số y = f(x) có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và $f\left(1\right)=1$ thì $f\left(5\right)$ có giá trị bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(10;6;-2\right),B\left(5;10;-9\right)$ và mặt phẳng có phương trình $\left(\alpha \right):2x+2y+z-12=0.$ Điểm M di động trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho MA, MB tạo với $\left(\alpha \right)$ các góc bằng nhau. Biết rằng M thuộc đường tròn $\left(\omega \right)$ cố định. Hoành độ của tâm đường tròn $\left(\omega \right)$ là:

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{2x^2-5x+2}$ là

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC  là tam giác cân với $BAC={120}^0,AB=AC=a.$ Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là $V=\frac{a^3}{16}.$

Tập xác định của hàm số $y={\log }_3\left(x^2+2x\right)$ là: