Câu hỏi:
19/07/2024 103
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’D’DC là hình chữ nhật.
Do đó CD // C’D’.
Mà CD // AB (do ABCD là hình vuông) nên AB // C’D’.
Khi đó, d(AB, C’D’) = d(B, C’D’). (1)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng và đáy ABCD là hình vuông nên A’B’C’D’ cũng là hình vuông.
Do đó C’D’ ⊥ B’C’.
Ta có: C’D’ ⊥ B’C’;
C’D’ ⊥ C’C (do C’D’DC là hình chữ nhật);
B’C’ ∩ C’C = C’ trong (BCC’B’).
Suy ra C’D’ ⊥ (B’C’CB).
Mà BC’ ⊂ (B’C’CB) nên C’D’ ⊥ BC’.
Khi đó d(B, C’D’) = BC’. (2)
Từ (1) và (2) ta có: d(AB, C’D’) = BC’.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’C ⊥ (ABCD).
Khi đó AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra
Ta có: C’C ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên C’C ⊥ AC.
Xét tam giác C’AC vuông tại C (do C’C ⊥ AC) có:
Do đó
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên B’C’CB là hình chữ nhật.
Suy ra C’C ⊥ BC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác C’CB vuông tại C (vì C’C ⊥ BC) có:
BC’2 = CC’2 + BC2
Suy ra
Do đó
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’ bằng
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’D’DC là hình chữ nhật.
Do đó CD // C’D’.
Mà CD // AB (do ABCD là hình vuông) nên AB // C’D’.
Khi đó, d(AB, C’D’) = d(B, C’D’). (1)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng và đáy ABCD là hình vuông nên A’B’C’D’ cũng là hình vuông.
Do đó C’D’ ⊥ B’C’.
Ta có: C’D’ ⊥ B’C’;
C’D’ ⊥ C’C (do C’D’DC là hình chữ nhật);
B’C’ ∩ C’C = C’ trong (BCC’B’).
Suy ra C’D’ ⊥ (B’C’CB).
Mà BC’ ⊂ (B’C’CB) nên C’D’ ⊥ BC’.
Khi đó d(B, C’D’) = BC’. (2)
Từ (1) và (2) ta có: d(AB, C’D’) = BC’.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’C ⊥ (ABCD).
Khi đó AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra
Ta có: C’C ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên C’C ⊥ AC.
Xét tam giác C’AC vuông tại C (do C’C ⊥ AC) có:
Do đó
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên B’C’CB là hình chữ nhật.
Suy ra C’C ⊥ BC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác C’CB vuông tại C (vì C’C ⊥ BC) có:
BC’2 = CC’2 + BC2
Suy ra
Do đó
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’ bằng
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.
Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.
Câu 2:
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
Câu 3:
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.
Câu 4:
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.
Câu 5:
Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a.
Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a.
Câu 6:
Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?
Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?
Câu 7:
Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, SC. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) là hình chóp cụt đều.
Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, SC. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) là hình chóp cụt đều.
Câu 8:
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a.
a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân.
Câu 9:
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.
Câu 10:
Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng (R) song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa cạnh A1B1, A2B2, A3B3, A4B4.
Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng (R) song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa cạnh A1B1, A2B2, A3B3, A4B4.
Câu 12:
Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là 15 cm, 15 cm và 6 cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.
Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh là 15 cm, 15 cm và 6 cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó.
Câu 13:
Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:
a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;
Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:
a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;
Câu 14:
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Câu 15:
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng
