Câu hỏi:
19/08/2026 23(a) Cho \(\tan \alpha - \cot \alpha = 7\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha + \cot \alpha .\)
(b) Giải phương trình \(\tan 3x = \tan x.\)
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có:
\(\tan \alpha - \cot \alpha = 7 \Rightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = {7^2}\)
\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 49 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 51\) (do \(\tan \alpha \cot \alpha = 1\)).
\({P^2} = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} = {\tan ^2}\alpha + 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2\)
\( = 51 + 2 = 53 \Rightarrow P = \pm \sqrt {53} .\)
Mặt khác, \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right.\) nên \(\tan \alpha + \cot \alpha > 0.\)
Vậy \[P = \sqrt {53} .\]
b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}3x \ne 0\\{\rm{cos}}x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có: \(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp với điều kiện, ta có \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB{\rm{//}}CD\)). Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\). Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng nào dưới đây?
Câu 3:
Cho các mệnh đề sau:
(I). Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
(II). Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
(III). Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
(IV). Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Câu 5:
Cho hai đường thẳng \(a,\,\,b\) cắt nhau và không đi qua điểm \(A\). Xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi \(a,\,\,b\) và \(A\)?
Câu 6:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2.\) Tổng của \(5\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng
Câu 8:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \(q = - 5\). Bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân lần lượt là
Câu 11:
Tính các giới hạn sau:
(a) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}};\)
(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}}.\)
Câu 12:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành.
(a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
(b) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm trên các cạnh \(SB\) và \(SC\) sao cho \(MS = 2MB,\) \(NS = NC.\) Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(K\). Chứng minh \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Câu 13:
\(\lim \frac{{3 \cdot {2^{n + 1}} - 2 \cdot {3^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}}\) bằng
Câu 14:
Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh?
Câu 15:
(a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(d = - 2\;\) và \({S_8} = 72.\) Số hạng đầu tiên của cấp số cộng này có giá trị bằng bao nhiêu?
(b) Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
– Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10 000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.
– Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm \(8\% \) giá của mét khoan ngay trước.
Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 40 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất? Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.
