Từ các công thức khai triển: (a + b)^0 = 1

Giải Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Nhị thức Newton

Khám phá 2 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Từ các công thức khai triển:

(a + b)⁰ = 1;

(a + b)¹ = a + b;

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵;

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{ll}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathbb{N},0\le k\le n.$

Lời giải:

+) Có

$$\begin{gathered} C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},C_n^{n-k} \\ =\frac{n!}{(n-k)!\left[n-\left(n-k\right)\right]!} \\ =\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \end{gathered}$$

Vậy $C_n^k=C_n^{n-k}.$

+) $$\begin{gathered} C_n^{k-1}+C_n^k \\ =\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}+\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{n+1}}{\frac{k!}{k}\left(n-k+1\right)!}+\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{n+1}}{k!\frac{\left(n-k+1\right)!}{\left(n-k+1\right)}} \\ =\frac{k}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!} \end{gathered}$$

$=\frac{k}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left[\left(n+1\right)-k\right]!}$$+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left[\left(n+1\right)-k\right]!}$

$$\begin{gathered} =\frac{k}{n+1}.C_{n+1}^k+\frac{n-k+1}{n+1}.C_{n+1}^k \\ =\left(\frac{k}{n+1}+\frac{n-k+1}{n+1}\right)C_{n+1}^k \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{k+\left(n-k+1\right)}{n+1}{C}_{n+1}^k \\ =\frac{n+1}{n+1}{C}_{n+1}^k=C_{n+1}^k. \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Khám phá 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1)...

Thực hành 1 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Hãy khai triển: a) (x – y)⁶...

Thực hành 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển: a) (2x + 1)⁶...

Thực hành 3 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của x² trong khai triển (3x + 2)⁹...

Thực hành 4 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng trong khai triển (x + a)⁶ với a là một số thực, hệ số của x⁴ là 60...

Thực hành 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có: Thực hành 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10...

Vận dụng trang 39 Chuyên đề Toán 10: Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số...

Bài 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức: a) (x – 2y)⁶...

Bài 2 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹²...

Bài 3 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x⁴...

Bài 4 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90...

Bài 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35) bằng phương pháp quy nạp...

Bài 6 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷...

Bài 7 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con...

Bài 8 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Tính chất chung của ba đường conic