50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc (đề 7)

Câu 1:

17/06/2026

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1 - \cos x}{\sin x - 1}$ là:

A. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + k 2 π\} .$

B. $ℝ \ \{\frac{π}{2} + kπ\} .$

C. $ℝ \ \{k 2 π\} .$

D. $ℝ \ \{kπ\} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 2:

17/06/2026

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

A. $y = \frac{x}{x - 1} .$

B. $y = - \frac{x}{x - 1} .$

C. $y = \frac{x}{x + 1} .$

D. $y = \frac{x - 1}{x} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có TCĐ,TCN là: x = 1; y = 1 nên đáp án A đúng

Câu 3:

17/06/2026

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b (a \leq b)$ có diện tích S là:

A. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .$

B. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .$

C. $S = |\int_{a}^{b} f (x) d x| .$

D. $S = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 4:

17/06/2026

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 3 x$ là:

A. $- \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

B. $\frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

C. $3 \cos 3 x + C .$

D. $- 3 \cos 3 x + C .$

Xem đáp án

Đáp án A

$\int \sin 3 xdx = - \frac{1}{3} cos3x+C$

Câu 5:

17/06/2026

Tìm số nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 1) = 2.$

A. 1

B. 5

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{3} (2 x - 1) = 2 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5$

Câu 6:

17/06/2026

Khối đa diện nào dưới đây có công thức tính thể tích là $V = \frac{1}{3} B h$ (với B là diện tích đáy; h là chiều cao)

A. Khối chóp

B. Khối lăng trụ

C. Khối lập phương

D. Khối hộp chữ nhật

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 7:

17/06/2026

Giá trị của $\lim (2 n + 1)$ bằng:

A. 0

B. 1

C. $+ \infty .$

D. $- \infty .$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 8:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, $S A = a \sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng:

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy AD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

Câu 9:

17/06/2026

Cho mặt cầu $(S_{1})$ có bán kính $R_{1},$ mặt cầu $(S_{2})$ có bán kính $R_{2} = 2 R_{1} .$ Tính tỉ số diện tích của mặt cầu $(S_{2})$ và $(S_{1}) ?$

A. 4

B. 3

C. 1/2

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} S_{S_{1}} = 4 π R_{1}^{2}, S_{s_{2}} = 4 π 4 R_{1}^{2} \\ \Rightarrow \frac{S_{S_{2}}}{S_{S_{1}}} = 4 \end{array}$

Câu 10:

17/06/2026

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. $V = \frac{a^{3}}{2} .$

B. $V = \frac{a^{3}}{6} .$

C. $V = \frac{a^{3}}{3} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 11:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0) .$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y' = 3 x^{2} - 6 x \\ y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \end{array}$

Câu 12:

17/06/2026

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ là:

A. y = 9x - 7

B. y = 9x + 7

C. y = -9x - 7

D. y = -9x +7

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 13:

17/06/2026

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + x^{2} - 5 x$ trên đoạn [0;2] lần lượt là:

A. 1;0

B. 2; -3

C. 3;1

D. 2;1

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 14:

17/06/2026

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{6}} . \sqrt[3]{x}$ với x > 0

A. $P = x^{\frac{1}{8}} .$

B. $P = x^{\frac{2}{9}} .$

C. $P = \sqrt{x} .$

D. $P = x^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 15:

17/06/2026

Phương trình $2 \cos^{2} x + \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là:

A. $k π .$

B. $\frac{π}{2} + k 2 π .$

C. $\frac{π}{2} + k π .$

D. $k 2 π .$

Xem đáp án

Đáp án D

$2 \cos^{2} x + c osx-3=0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} cosx=1 \Leftrightarrow x=k2 π \\ cosx=- \frac{3}{2} (L) \end{array}$

Câu 16:

17/06/2026

Cho $n \in ℕ^{*},$ dãy $(u_{n})$ là một cấp số cộng với $u_{2} = 5$ và công sai d = 3. Khi đó $u_{81}$ bằng:

A. 239

B. 245

C. 242

D. 248

Xem đáp án

Đáp án C

$u_{81} = u_{2} + 79 d = 5 + 79.3 = 242$

Câu 17:

17/06/2026

Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm $A (2; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 4)$ có phương trình là:

A. $6 x + 4 y + 3 z + 12 = 0.$

B. $6 x + 4 y + 3 z = 0.$

C. $6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0.$

D. $6 x + 4 y + 3 z - 24 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 18:

17/06/2026

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ và $(Q) : 4 x + 5 y - z + 1 = 0.$ Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). $\vec{A B}$ cùng phương với vectơ nào sau đây?

A. $\vec{w} = (3; - 2; 2) .$

B. $\vec{v} = (- 8; 11; - 23) .$

C. $\vec{a} = (4; 5; - 1) .$

D. $\vec{u} = (8; - 11; - 23) .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} \vec{n_{P}} (3; - 2; 2), \vec{n_{Q}} (4; 5; - 1) \\ [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (- 8; 11; 23) \end{array}$

Câu 19:

17/06/2026

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ và $(Q) : 4 x + 5 y - z + 1 = 0.$ Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). $\vec{A B}$ cùng phương với vectơ nào sau đây?

A. $\vec{w} = (3; - 2; 2) .$

B. $\vec{v} = (- 8; 11; - 23) .$

C. $\vec{a} = (4; 5; - 1) .$

D. $\vec{u} = (8; - 11; - 23) .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} \vec{n_{P}} (3; - 2; 2), \vec{n_{Q}} (4; 5; - 1) \\ [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (- 8; 11; 23) \end{array}$

Câu 20:

17/06/2026

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\sin 2 x + 4 \sin x - 2 \cos x - 4 = 0$ trên đoạn $[0; 100 π] .$

A. 2476 $π$

B. 25 $π$

C. 2475 $π$

D. 100 $π$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 21:

17/06/2026

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = \frac{1}{2} (t^{4} + 3 t^{2}), t$ (giây), s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t = 4 (giây) là:

A. 0m/s

B. 200m/s

C. 150m/s

D. 140m/s

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} v = (s)' = 2 t^{3} + 3 t \\ v (4) = {2.4}^{3} + 3.4 = 140 \end{array}$

Câu 22:

17/06/2026

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\log x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 10.$

B. $\log_{\frac{1}{π}} x < \log_{\frac{1}{π}} y \Leftrightarrow x > y > 0.$

C. $\ln x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1.$

D. $\log_{4} x^{2} > \log_{2} y \Leftrightarrow x > y > 0.$

Xem đáp án

Đáp án D

$\log_{4} x^{2} > \log_{2} y \Leftrightarrow \log_{2} |x| > \log_{2} y \Leftrightarrow |x| > y > 0$

Câu 23:

17/06/2026

Cho hai số phức $z_{1} = 3 + i, z_{2} = 1 - 2 i .$ Tính mô đun của số phức $z = \frac{z_{1}}{z_{2}} .$

A. $|z| = \sqrt{2} .$

B. $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

C. $|z| = 2.$

D. $|z| = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{3 + i}{1 - 2 i} = \frac{1 + 7 i}{5} \\ |z| = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{49}{25}} = \sqrt{2} \end{array}$

Câu 24:

17/06/2026

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 4 = 0.$ Gọi M, N là các điểm biểu diễn của các số phức $z_{1}, z_{2}$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ.

A. $T = 2 \sqrt{2} .$

B. T = 8

C. T = 2

D. T = 4

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 25:

17/06/2026

Cho $\log_{a} x = - 1$ và $\log_{a} y = 4.$ Tính $P = \log_{a} (x^{2} y^{3}) .$

A. P = -14

B. P = 3

C. P = 10

D. P = 65

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 26:

17/06/2026

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C),$ tam giác ABC đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A. $h = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}} .$

B. $h = \frac{a \sqrt{3}}{7} .$

C. $h = \frac{2 a}{7} .$

D. $h = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 27:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + m - 3 (C) .$ Tất cả các giá trị của m để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt là:

A. $- 4 < m < - 3.$

B. $3 < m < 4.$

C. $- 4 \leq m < 3.$

D. $3 < m \leq 4.$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 28:

17/06/2026

Hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ khi:

A. -1 < m < 1

B. m > 1

C. $m \in ℝ \ [- 1; 1] .$

D. $m \geq 1.$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 29:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = \ln^{2} (x^{2} - 2 x + 5) .$ Tìm tất cả các giá trị của x để f '(x) > 0

A. $x \neq 1.$

B. x > 0

C. $\forall x \in ℝ .$

D. x > 1

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 30:

17/06/2026

Biết $\int_{0}^{2} 2 x \ln (x + 1) d x = a \ln b,$ với $a, b \in ℕ^{*}$ và b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b

A. 33

B. 25

C. 42

D. 39

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 31:

17/06/2026

Tính tổng $S = C_{10}^{0} + 2 C_{10}^{1} + 2^{2} C_{10}^{2} + ... + 2^{10} C_{10}^{10} .$

A. $S = 2^{10} .$

B. $S = 3^{10} .$

C. $S = 4^{10} .$

D. $S = 3^{11} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 32:

17/06/2026

Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu”, chiều kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong 3 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{30}{343}$

C. $\frac{30}{49} .$

D. $\frac{5}{49} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Không gian mẫu: $Ω = 7^{3}$
Chiếc kim bánh xe dừng ở 3 vị trí khác nhau: $A_{7}^{3}$

$\Rightarrow p = \frac{C_{7}^{3}}{7^{3}} = \frac{30}{49}$

Câu 33:

17/06/2026

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $a^{3} .$ Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Khoảng cách giữa SA và CD bằng:

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

B. $a \sqrt{3} .$

C. $\frac{a}{2} .$

D. $2 \sqrt{3} a .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} S A \subset (S A B), C D / / (S A B) \\ \Rightarrow d (S A, C D) = d (C D, (S A B)) = d (C, (S A B)) \\ V_{S A B C} = \frac{1}{2} V_{S A B C D} = \frac{a^{3}}{2} = \frac{1}{3} d (C, (S A B)) . S_{S A B} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} d \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} a = d \frac{\sqrt{3} a^{2}}{12} = \frac{a^{3}}{2} \\ \Rightarrow d = 2 \sqrt{3} a \end{array}$

Câu 34:

17/06/2026

Cho hàm số $f_{1} (x) = \sqrt{x - 1}, f_{2} (x) = x, f_{3} (x) = \tan x$ $f_{4} (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ 2 k h i x = 1 \end{cases} .$ Hỏi trong bốn hàm số trên, hàm số nào liên tục trên $ℝ ?$

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta thấy hàm $f_{1} (x), f_{3} (x)$ có tập xác định $D \neq ℝ$ nên hai hàm số này sẽ không liên tục trên $ℝ$

Áp dụng định nghĩa ta thấy hàm số $f_{2} (x), f_{4} (x)$ liên tục trên $ℝ$

Câu 35:

17/06/2026

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao $h = \sqrt{3} .$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A. $\frac{100 π}{3} .$

B. $\frac{25 π}{3} .$

C. $\frac{100 π}{27} .$

D. $100 π .$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 36:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{- 5}^{1} f (x) d x = 9.$ Tính $\int_{0}^{2} [f (1 - 3 x) + 9] d x .$

A. 27

B. 21

C. 15

D. 75

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 37:

17/06/2026

Cho đồ thị hàm số $y = x^{3}$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = 2.$ Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trên hình?

A. $\frac{π - 1}{2} .$

B. $\frac{π - 1}{4} .$

C. $\frac{π + 1}{2} .$

D. $\frac{π + 1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét phương trình tương giao:

Câu 38:

17/06/2026

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông BA = BC = a, cạnh bên $A A^{'} = a \sqrt{2} .$ M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa AM và B'C là:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{5} .$

D. $\frac{a \sqrt{7}}{7} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$\begin{array}{l} A (0; a; a \sqrt{2}), M (\frac{a}{2}; 0; a \sqrt{2}), B' (0; 0; 0), C (a; 0; a \sqrt{2}) \\ \vec{A M} (\frac{a}{2}; - a; 0), \vec{B' C} (a; 0; a \sqrt{2}) \\ \Rightarrow [\vec{A M}, \vec{B' C}] = (- a^{2} \sqrt{2}; - \frac{a^{2}}{\sqrt{2}}; a^{2}) \\ \vec{B' M} (\frac{a}{2}; 0; a \sqrt{2}) \\ d (A M, B' C) = \frac{|[\vec{A M}, \vec{B' C}] \vec{B' M}|}{|[\vec{A M}, \vec{B' C}]|} = \frac{a \sqrt{7}}{7} \end{array}$

Câu 39:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi I là điểm thuộc AB sao cho $A I = \frac{a}{3} .$ Tính khoảng cách từ điểm C đến (B'DI)

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

B. $\frac{a}{\sqrt{14}} .$

C. $\frac{a}{\sqrt{3}} .$

D. $\frac{3 a}{\sqrt{14}} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$\begin{array}{l} B' (0; 0; 0), D (a; a; a), I (\frac{2 a}{3}; 0; a), C (0; a; a) \\ \vec{B' D} (a; a; a), \vec{B' I} (\frac{2 a}{3}; 0; a) \\ \Rightarrow \vec{n} = [\vec{B' D}, \vec{B' I}] = (a^{2}; - \frac{a^{2}}{3}; - \frac{2}{3} a^{2}) \\ \Rightarrow (B' I D) : 3 x - y - 2 z = 0 \\ \Rightarrow d (C, (B' I D)) = \frac{3 a}{\sqrt{14}} \end{array}$

Câu 40:

17/06/2026

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn $\log_{9} x = \log_{6} y = \log_{4} (x + y)$ và $\frac{x}{y} = \frac{- a + \sqrt{b}}{2},$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính tổng T = a + b

A. T = 6

B. T = 4

C. T = 11

D. T = 8

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 41:

17/06/2026

Cho $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là một nghiệm của phương trình $z^{2} + b z + a^{2} + 4 = 0.$ Tính $|z| .$

A. $|z| = 4 .$

B. $|z| = 2 .$

C. $|z| = \sqrt{5} .$

D. $|z| = 5 .$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} z^{2} + b z + a^{2} + 4 = 0 \\ \Rightarrow a^{2} - b^{2} + 2 a b i + a b + b^{2} i + a^{2} + 4 = 0 \\ \Rightarrow 2 a^{2} - b^{2} + a b + 4 + (2 a b + b^{2}) i = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} 2 a^{2} - b^{2} + a b + 4 = 0 \\ 2 a b + b^{2} = 0 \end{cases} \\ \cdot b = 0 \Rightarrow 2 a^{2} + 4 = 0 (V N) \\ \cdot b = - 2 a \Rightarrow 2 a^{2} - 4 a^{2} - 2 a^{2} + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow a = \pm 1 \Rightarrow b = \mp 2 \\ \Rightarrow |z| = \sqrt{5} \end{array}$

Câu 42:

17/06/2026

Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất sao cho đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà là:

A. $\frac{1}{6} .$

B. $\frac{1}{5} .$

C. $\frac{1}{30} .$

D. $\frac{1}{15} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Số cách xếp 6 người thành hàng ngang là: 6!

Coi 2 người đàn bà là 1 thì số cách sắp xếp người lớn là: 4! = 24

Hai người đàn bà đổi chỗ cho nhau ta được một trường hợp riêng nên số cách xếp người lớn là: 2.4! = 48

ứng với mỗi cách xếp người lớn chỉ có một cách xếp trẻ con nên số cách để xếp 1 đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà là: 48

$\Rightarrow p = \frac{48}{6!} = \frac{1}{5}$

Câu 43:

17/06/2026

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\ln (\frac{1 - 2 x}{x + y}) = 3 x + y - 1.$ Tính giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x y}} .$

A. $P_{\min} = 8.$

B. $P_{\min} = 16.$

C. $P_{\min} = 4.$

D. $P_{\min} = 2.$

Xem đáp án

Đáp án A

$\begin{array}{l} \ln (\frac{1 - 2 x}{x + y}) = 3 x + y - 1, (0 < x < \frac{1}{2}, y > 0) \\ \Leftrightarrow \ln (1 - 2 x) + 1 - 2 x = \ln (x + y) + x + y \\ f (t) = t + \ln t \Rightarrow f' (t) = 1 + \frac{1}{t} > 0 \\ \Rightarrow f (1 - 2 x) = f (x + y) \\ \Leftrightarrow 1 - 2 x = x + y \Leftrightarrow y = 1 - 3 x \end{array}$

Câu 44:

17/06/2026

Cho dãy số $(U_{n})$ xác định bởi $U_{1} = \frac{1}{3}$ và $U_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} U_{n} .$ Tổng $S = U_{1} + \frac{U_{2}}{2} + \frac{U_{3}}{3} + ... + \frac{U_{10}}{10}$ bằng:

A. $\frac{3280}{6561} .$

B. $\frac{29524}{59049} .$

C. $\frac{25942}{59049} .$

D. $\frac{1}{243} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 45:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), $C (0; 0; 3), D (2; - 2; 0) .$ Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm trong 5 điểm O, A, B, C, D?

A. 7

B. 5

C. 6

D. 10

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{A B} (- 1; 2; 0), \vec{A D} (1; - 2; 0), \vec{A B} = - \vec{A D} \Rightarrow A, B, D$ thẳng hàng

Cứ 3 điểm không thẳng hàng cho ta một mặt phẳng

Số cách chọn 3 trong 5 điểm trên là $C_{5}^{3} = 10$

A,B,D thẳng hàng nên qua 3 điểm này không xác định được mặt phẳng

Số cách chọn 2 trong và điểm A,B,D và 1 điểm trong O và C là: $C_{3}^{2} . C_{2}^{1} = 6$

Nếu chọn 2 trong 3 điểm A,B,D kết hợp cùng hai điểm còn lại sẽ ra một số mặt phẳng trùng nhau. Nên trường hợp này ta chỉ xác định được 2 mặt phẳng phân biệt

Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm O,A,B,C,D là: 10 - 1 - 6 + 2 = 5

Câu 46:

17/06/2026

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{1 + 2 \cos x} + \sqrt{1 + 2 \sin x} = \frac{1}{2} m$ có nghiệm?

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 47:

17/06/2026

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x = - 1; x = 0$ có diện tích bằng:

A. $\frac{2}{5} .$

B. $\frac{1}{9} .$

C. $\frac{2}{9} .$

D. $\frac{1}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} \int_{0}^{2} [(- 4 a - 2 b) (x + 1) - {ax}^{4} - b x^{2} - c] d x \\ = [(- 2 a - b) x^{2} + (- 4 a - 2 b) x - \frac{{ax}^{5}}{5} - \frac{b x^{3}}{3} - c x] |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} \\ = \frac{- 112}{5} a - \frac{32}{3} b - 2 c = \frac{28}{5} (2) \\ (1), (2) \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow y = x^{4} - 3 x^{2} + 2, d : y = 2 x + 2 \\ \Rightarrow S = \int_{- 1}^{0} (x^{4} - 3 x^{2} + 2) d x = \frac{x^{5}}{5} - x^{3} - x^{2} |\begin{array}{l} 0 \\ - 1 \end{array} = \frac{1}{5} \end{array}$

Câu 48:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ và các điểm $A (1; 0; 2), B (- 1; 2; 2) .$ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng $a x + b y + c z + 3 = 0.$ Tính tổng T = a + b + c

A. 3

B. -3

C. 0

D. -2

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB

$\begin{array}{l} \vec{A B} (- 2; 2; 0) \Rightarrow A B : \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{cases} \\ J \in A B \Rightarrow J (1 - t; t; 2) \Rightarrow \vec{IJ} (- t; t - 2; - 1) \\ \vec{IJ} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow 2 t + 2 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow J (0; 1; 2) \end{array}$

Thiết diện của (P) với (S) có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi $d (I; (P)) = d (I; A B) = IJ$

Vậy (P) là mặt phẳng đi qua J và có VTPT $\vec{IJ}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (P) : x + (y - 1) + (z - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0 \\ \Rightarrow T = - 3 \end{array}$

Câu 49:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD'. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được:

A. $\frac{\sqrt{6}}{4} .$

B. $\sqrt{2} .$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3} .$

D. $\frac{\sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử (P) cắt cạnh AA’ tại M sao cho A'M = x

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$\begin{array}{l} B (0; 0; 1), D' (1; 1; 0), M (1; 0; x) \\ \Rightarrow \vec{B D'} (1; 1; - 1), \vec{B M} (0; - 1; x + 1) \\ \Rightarrow [\vec{B D'}, \vec{B M}] = (x; - x - 1; - 1) \end{array}$

Thiết diện BMD’N thu được là hình bình hành nên

$\begin{array}{l} S_{B M D' N} = 2 S_{B M D'} = |[\vec{B D'}, \vec{B M}]| = \sqrt{x^{2} + {(x + 1)}^{2} + 1} \\ y = 2 x^{2} + 2 x + 2 \Rightarrow y' = 4 x + 2 \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow S_{\min} = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}$

Câu 50:

17/06/2026

Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 30^{\circ} .$ Mặt phẳng ( $α$ ) qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B', C' sao cho chu vi tam giác AB'C' nhỏ nhất. Tính $k = \frac{V_{S . A B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} .$

A. $k = 2 - \sqrt{2} .$

B. $k = 4 - 2 \sqrt{3} .$

C. $k = \frac{1}{4} .$

D. $k = 2 (2 - \sqrt{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A B' + B' C' + C' A = A B' + B' C' + C' D \geq A D$

Suy ra A,B’,C’,D thẳng hàng

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3