Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì parabol có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{3}\) nên ta có \( - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra –3b = 2a.

Tức là, 2a + 3b = 0    (1)

Theo đề, ta có parabol đi qua điểm A(1; 3).

Suy ra 3 = a.1² + b.1 + 4.

Khi đó a + b + 4 = 3.

Do đó a + b = –1        (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Vì vậy a + 2b = –3 + 2.2 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị, ta thấy parabol cắt trục hoành tại đỉnh của parabol hay parabol cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Nghĩa là, phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép.

Do đó ∆ = 0.

Suy ra b² – 4ac = 0   (1)

Ta có f(c) = c.

Suy ra ac² + bc + c = c.

Khi đó c(ac + b) = 0.

Vì vậy ac + b = 0 (vì c ≠ 0).

Do đó \(c = - \frac{b}{a}\) (vì a ≠ 0).

Thay \(c = - \frac{b}{a}\) vào (1) ta được: \({b^2} - 4.a.\left( { - \frac{b}{a}} \right) = 0\).

Khi đó b² + 4b = 0 Û b(b + 4) = 0.

Vì vậy b = 0 hoặc b = –4.

Vì b ≠ 0 nên ta nhận b = –4.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 tại x = 2.

Tức là đỉnh S(2; 4) và a > 0.

Suy ra 4 = a.2² + b.2 + c.

Do đó 4a + 2b + c = 4   (1)

Ta có x_S = 2.

Suy ra \( - \frac{b}{{2a}} = 2\).

Do đó –b = 4a   (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 6).

Suy ra 6 = a.0² + b.0 + c.

Do đó c = 6       (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: –b + 2b + 6 = 4.

Suy ra b = –2.

Với b = –2, thay vào (2) ta được 4a = 2.

Suy ra \(a = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn a > 0).

Vì vậy ta có \(a = \frac{1}{2}\), b = –2, c = 6.

Khi đó P = abc = \(\frac{1}{2}.\left( { - 2} \right).6 = - 6\).

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M(m + 1; 1) ∈ (C) nên ta có \(1 = \frac{{m + 1 + 2}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 1}}\) (vì (m + 1)² + 1 > 0, ∀m ∈ ℝ)

Tức là (m + 1)² + 1 = m + 3.

Khi đó m² + m – 1 = 0.

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}16 - {x^2} \ge 0\\2023x + 2024m \ge 0\end{array} \right.\).

Tức là, \(\left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x \le 4\\x \ge - \frac{{2024m}}{{2023}}\end{array} \right.\).

Do đó tập xác định của hàm số là D = \(\left[ { - 4;4} \right] \cap \left[ { - \frac{{2024m}}{{2023}}; + \infty } \right)\)

Ta có tập xác định của hàm số đã cho chỉ có đúng một phần tử.

Nghĩa là, D = \(\left[ { - 4;4} \right] \cap \left[ { - \frac{{2024m}}{{2023}}; + \infty } \right)\) chỉ có đúng một phần tử.

Û \(4 = - \frac{{2024m}}{{2023}}\) Û –2024m = 8092.

Do đó \(m = - \frac{{2023}}{{506}}\).

Vì vậy a = –2023 và b = 506 (vì a ∈ ℤ, b ∈ ℕ^*).

Vậy a + b = –2023 + 506 = –1517.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(B = \frac{8}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} + \frac{4}{{{x^2} + 1}} = {\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}}\).

Ta đặt \({x_1} = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) và \({x_2} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}\).

Ta có \[{x_2} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 + 2}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}} + \frac{2}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{2}{{{x^2} + 1}} > \frac{2}{{{x^2} + 1}}\].

Ta suy ra x₂ > x₁ hay x₁ < x₂.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên ℝ và x₁ < x₂ nên ta có f(x₁) < f(x₂).

Suy ra \({\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}} + 1 < {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}} + 1\).

Do đó \({\left( {\frac{2}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{2}{{{x^2} + 1}} < {\left( {\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)^3} + 2.\frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 1}}\).

Vì vậy B < A hay A > B.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số tiền lãi khi bán một đôi giày của cửa hàng là: x – 40 (USD).

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày khi cửa hàng bán được x đôi giày.

Ta có y = (120 – x).(x – 40) = –x² + 160x – 4 800.

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 160, c = –4 800.

∆ = b² – 4ac = 160² – 4.(–1).(–4 800) = 6 400.

Vì a = –1 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

Khi đó \({y_{max}} = \frac{{ - 6400}}{{4.\left( { - 1} \right)}} = 1600\) khi \(x = \frac{{ - 160}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 80\).*

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử parabol có dạng y = ax² + bx + c, với a ≠ 0.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Khi đó O ≡ C’ là trung điểm A’B’.

Suy ra OA = OB = 100 (m).

Do đó parabol đi qua điểm A(100; 30).

Suy ra 30 = a.100² + b.100 + c.

Khi đó 10 000a + 100b + c = 30    (1)

Khi chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có Oy là trục đối xứng của parabol.

Vì C là giao điểm của trục đối xứng Oy và parabol.

Nên C là đỉnh của parabol.

Parabol có đỉnh C(0; 5).

Ta suy ra 5 = a.0² + b.0 + c.

Do đó c = 5

Ta có x_C = 0.

Suy ra \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\).

Do đó b = 0.

Thay b = 0, c = 5 vào (1) ta được 10 000a + 100.0 + 5 = 30.

Suy ra a = \(\frac{1}{{400}} \ne 0\).

Vậy parabol có hàm số \(y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5\).

Đoạn A’B’ được chia thành 8 phần bằng nhau.

Suy ra OI’ = I’J’ = J’K’ = \(\frac{{200}}{8}\) = 25 (m).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OI' = 25\\OJ' = 25.2 = 50\\OK' = 25.3 = 75\end{array} \right.\)

Do đó x_I’ = 25, x_J’ = 50, x_K’ = 75.

Với x_I’ = 25, ta có \({y_1} = {y_{I'}} = \frac{1}{{400}}{.25^2} + 5 = \frac{{105}}{{16}}\).

Với x_J’ = 50, ta có \({y_2} = {y_{J'}} = \frac{1}{{400}}{.50^2} + 5 = \frac{{45}}{4}\).

Với x_K’ = 75, ta có \({y_3} = {y_{K'}} = \frac{1}{{400}}{.75^2} + 5 = \frac{{305}}{{16}}\).

Vậy tổng độ dài của các dây cáp treo bằng:

OC + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃

\( = 5 + 2.\frac{{105}}{{16}} + 2.\frac{{45}}{4} + 2.\frac{{305}}{{16}} = \frac{{315}}{4} = 78,75\) (m)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi T là trọng lượng tất cả số con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ.

Vì trên một diện tích của mặt hồ có n con cá nên ta có:

T = (360 – 10n).n = –10n² + 360n.

Hàm số T có dạng T = an² + bn + c, với a = –10, b = 360, c = 0.

∆ = b² – 4ac = 360² – 4.(–10).0 = 129 600.

Vì a = –10 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(n = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

Khi đó \({T_{\max }} = \frac{{ - 129\,\,600}}{{4.\left( { - 10} \right)}} = 3\,\,240\) khi \(n = \frac{{ - 360}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 18\).

Vậy phải thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A và B là hai điểm ứng với chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) và có chiều rộng d = 5 (m) nên ta có: AB = 5.

Gọi I là trung điểm AB. Suy ra IA = IB = \(\frac{{AB}}{2} = \frac{5}{2}\) (m).

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với \(a = - \frac{1}{2}\), b = c = 0.

Vì b = 0 nên Oy là trục đối xứng của parabol.

Do đó trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm trên Oy.

Khi đó điểm I có hoành độ bằng 0.

Vì IA = IB = \(\frac{5}{2}\) nên ta có \({x_A} = - \frac{5}{2},\,\,{x_B} = \frac{5}{2}\).

Với \({x_A} = - \frac{5}{2}\), ta có \({y_A} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}\).

Suy ra tọa độ \(A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Với \({x_B} = \frac{5}{2}\), ta có \({y_B} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}\).

Suy ra tọa độ \(B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

Vì vậy chiều cao h của cổng là:

h = OI = |y_A| = |y_B| = \(\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3,125\) (m).

Vậy ta chọn phương án B.