Gọi x; y; z; t là khối lượng của bốn loại cà phê

(kg, 0 < x; y; z; t < 300)

Tổng số cà phê bốn loại là 300 kg

nên x + y + z + t = 300

Vì khối lượng cà phê loại 1, loại 2, loại 3, loại 4 tỉ lệ nghịch với 4;3;2;1 nên ta có:

$$\begin{gathered} 4\mathrm{x}=3\mathrm{y}=2\mathrm{z}=\mathrm{t} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{\mathrm{y}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\mathrm{z}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{\mathrm{t}}{1} \end{gathered}$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{\mathrm{y}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\mathrm{z}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{\mathrm{t}}{1} \\ =\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{t}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}=\frac{300}{{\displaystyle \frac{25}{12}}}=144 \end{gathered}$$

Vậy:

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=\frac{1}{4}.144=36 \\ \mathrm{y}=\frac{1}{3}.144=48 \\ \mathrm{z}=\frac{1}{2}.144=72 \\ \mathrm{t}=1.144=144 \end{gathered}$$

Khối lượng cà phê loại 4 là 144 kg

Từ bài ra ta có: $\mathrm{v}.\mathrm{t}=135\Rightarrow \mathrm{v}=\frac{135}{\mathrm{t}};\mathrm{t}=\frac{135}{\mathrm{v}}$

Nên v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 135

Từ bài ra ta có: $\mathrm{v}.\mathrm{t}=100\Rightarrow \mathrm{v}=\frac{100}{\mathrm{t}}; \mathrm{t}=\frac{100}{\mathrm{v}}$

Nên v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 100

Gọi ${\mathrm{v}}_1; {\mathrm{v}}_2$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai (km/h) (${\mathrm{v}}_1; {\mathrm{v}}_2$> 0)

Gọi ${\mathrm{t}}_1; {\mathrm{t}}_2$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhấy và xe thứ hai (h) (${\mathrm{t}}_1; {\mathrm{t}}_2$> 0)

Từ đề bài ta có: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_1=\frac{60}{100}{\mathrm{v}}_2\Rightarrow {\mathrm{v}}_1=\frac{3}{5}{\mathrm{v}}_2 \\ {\mathrm{t}}_1={\mathrm{t}}_2+4 \end{gathered}$$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_1.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2\Rightarrow \frac{3}{5}{\mathrm{v}}_2\left({\mathrm{t}}_2+4\right)={\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2 \\ \Rightarrow \frac{3}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2+\frac{12}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2={\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2 \\ \Rightarrow 12{\mathrm{v}}_2=2{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2 \end{gathered}$$

Mà ${\mathrm{v}}_2>0$ nên ${\mathrm{t}}_2=\frac{12{\mathrm{v}}_2}{2{\mathrm{v}}_2}=6$

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6h

Gọi ${\mathrm{v}}_1; {\mathrm{v}}_2$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai (km/h) (${\mathrm{v}}_1; {\mathrm{v}}_2$> 0)

Gọi ${\mathrm{t}}_1; {\mathrm{t}}_2$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhấy và xe thứ hai (h) (${\mathrm{t}}_1; {\mathrm{t}}_2$> 0)

Từ đề bài ta có: 

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_1=\frac{120}{100}{\mathrm{v}}_2\Rightarrow {\mathrm{v}}_1=\frac{6}{5}{\mathrm{v}}_2 \\ {\mathrm{t}}_2={\mathrm{t}}_1+2 \end{gathered}$$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_1.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_2\Rightarrow \frac{6}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{v}}_2.\left({\mathrm{t}}_1+2\right) \\ \Rightarrow \frac{6}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1+2{\mathrm{v}}_2 \\ \Rightarrow \frac{6}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1-{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1=2{\mathrm{v}}_2\Rightarrow \frac{1}{5}{\mathrm{v}}_2.{\mathrm{t}}_1=2{\mathrm{v}}_2 \end{gathered}$$

Mà ${\mathrm{v}}_2>0$ nên ${\mathrm{t}}_1=\frac{2{\mathrm{v}}_2}{{\displaystyle \frac{1}{5}}{\mathrm{v}}_2}=10$

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là

${\mathrm{t}}_2=10+2=12\mathrm{h}$

Gọi thời gian 40 công nhân làm một công việc đó là x (x > 0) (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} 8.30=40\mathrm{x} \\ \Rightarrow 40\mathrm{x}=240\iff \mathrm{x}=6 \mathrm{giờ} \end{gathered}$$

Vậy 40 công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 6 giờ.

Gọi ba phần được chia ra từ số A lần lượt là:

x, y, z (x, y, z > 0)

Theo đề bài, ba phần tỉ lệ nghịch với các số $\frac{5}{2}; \frac{4}{3}; 6$ nên ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{x}.\frac{5}{2}=\mathrm{y}.\frac{4}{3}=\mathrm{z}.6 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{2}{5}}}=\frac{\mathrm{y}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\mathrm{z}}{{\displaystyle \frac{1}{6}}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2}=\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2}=\frac{{\mathrm{z}}^2}{{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^2} \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\displaystyle \frac{4}{25}}}=\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}=\frac{{\mathrm{z}}^2}{{\displaystyle \frac{1}{36}}} \end{gathered}$$

Tổng bình phương của ba phần là 24309 nên

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=24309$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\displaystyle \frac{4}{25}}}=\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}=\frac{{\mathrm{z}}^2}{{\displaystyle \frac{1}{36}}} \\ =\frac{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2}{{\displaystyle \frac{4}{25}}+{\displaystyle \frac{9}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}} \\ =\frac{24309}{{\displaystyle \frac{2701}{3600}}}=32400 \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}^2}{{\displaystyle \frac{4}{25}}}=32400\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=5184 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{5184}=72 \\ \frac{{\mathrm{y}}^2}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}=32400\Rightarrow {\mathrm{y}}^2=18225 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\sqrt{18225}=135 \\ \frac{{\mathrm{z}}^2}{{\displaystyle \frac{1}{36}}}=32400\Rightarrow {\mathrm{z}}^2=900 \\ \Rightarrow \mathrm{z}=\sqrt{900}=30 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{A}=\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{t} \\ \Rightarrow \mathrm{A}=72+135+30=237 \end{gathered}$$

Vậy số tự nhiên A là 237

Đổi 2 giờ 15 phút = 2,25 giờ

Gọi thời gian ô tô chạy A đến B với vận tốc

45 km/h là x (x>0) (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} 50.2,25=45\mathrm{x} \\ \Rightarrow 45\mathrm{x}=112,5 \\ \Rightarrow \mathrm{x}-2,5 \mathrm{giờ} \end{gathered}$$

Vậy thời gian cần tìm là 2,5 giờ.

Gọi thời gian 21 công nhân làm một công việc đó là x (x >0) (giờ)

Vì cùng một công việc thì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} 7.12=\mathrm{x}.21 \\ \Rightarrow 21\mathrm{x}=84\Rightarrow \mathrm{x}=4 \mathrm{giờ} \end{gathered}$$

Vậy 21 công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 4 giờ.

Đổi 24 phút = $\frac{2}{5}$h, 10 phút = $\frac{1}{6}\mathrm{h}$

Gọi vận tôc khi đi bộ của Mai là x (x >0) (km/h)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \frac{2}{5}\mathrm{x}=\frac{1}{6}.12 \\ \Rightarrow \frac{2}{5}\mathrm{x}=2\Rightarrow \mathrm{x}=5(\mathrm{km}/\mathrm{h}) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc khi đi bộ của Mai là 5 km/h

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là

x; y; z (x; y; z > 0)

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Theo bài ra ta có:

x.3 = y.5 = z.4 và z - y = 3

Suy ra: $\frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}}{5}=\frac{\mathrm{z}-\mathrm{y}}{5-4}=\frac{3}{1}=3$

Do đó y = 12 ; z = 15

Vậy đội thứ hai có 12 máy

Gọi thời gian hoàn thành công việc của cơ sở sản xuất ban đầu và sau khi cải tiến kĩ thuật lần lượt là ${\mathrm{t}}_1, {\mathrm{t}}_2 ({\mathrm{t}}_1, {\mathrm{t}}_2>0)$ (giờ), năng suất lao động của công nhân là ${\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2\left({\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2>0\right)$(sản phẩm/ giờ).

Năng suất lao động của công nhân sau khi cải tiến kĩ thuật là

${\mathrm{x}}_2={\mathrm{x}}_1+\frac{25}{100}{\mathrm{x}}_1=\frac{5{\mathrm{x}}_1}{4}$ (sản phẩm/ giờ).

Vì năng suất công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{x}}_2.{\mathrm{t}}_2\Rightarrow {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{t}}_1=\frac{5{\mathrm{x}}_1}{4}{\mathrm{t}}_2 \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}_2=\frac{{\mathrm{x}}_1.{\mathrm{t}}_1}{{\displaystyle \frac{5{\mathrm{x}}_1}{4}}}=\frac{4}{5}{\mathrm{t}}_1 \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}_2=\frac{80}{100}{\mathrm{t}}_1=80\%{\mathrm{t}}_1 \end{gathered}$$

Do đó thời gian hoàn thành công việc sau khi cải tiến kĩ thuật bằng 80% thời gian lúc đầu.

Vậy thời gian làm việc sau khi cải tiến kĩ thuật giảm:

100%−80%=20%

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi giảm đi 12 người là x

(0 < x < 9)(giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu giảm đi 12 công nhân thì số công nhân sau khi tăng là:

30 - 12 = 18 công nhân

Theo bài ra ta có:

30.9 = 18.x  giờ

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi:

15-9 = 6 giờ

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là

x; y; z (x; y; z > 0)

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Theo bài ra ta có:

x.4 = y.6 = z.8 và x - y = 2

Suy ra: $\frac{\mathrm{x}}{6}=\frac{\mathrm{y}}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{6}=\frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{6-4}=\frac{2}{2}=1$

Do đó x = 6 ; y = 4

Vậy đội thứ nhất có 6 máy

Gọi thời gian hoàn thành công việc của ba đội lần lượt là 

${\mathrm{t}}_1, {\mathrm{t}}_2, {\mathrm{t}}_3 \left({\mathrm{t}}_1, {\mathrm{t}}_2, {\mathrm{t}}_3 >0\right)$(ngày).

Gọi số công nhân của ba đội lần lượt là ${\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2, {\mathrm{x}}_3 \left({\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_2, {\mathrm{x}}_3\in \mathrm{N}*\right)$ (người).

Theo đề bài, tổng số công nhân của đội 1 và đội 2 gấp 5 lần số công nhân của đội 3 nên ta có ${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=5{\mathrm{x}}_3$

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{t}}_1={\mathrm{x}}_2.{\mathrm{t}}_2={\mathrm{x}}_3.{\mathrm{t}}_3 \\ \iff \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_1}}}=\frac{{\mathrm{x}}_2}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_2}}}=\frac{{\mathrm{x}}_3}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_3}}} \end{gathered}$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_1}}}=\frac{{\mathrm{x}}_2}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_2}}}=\frac{{\mathrm{x}}_3}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_3}}} \\ =\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{5{\mathrm{x}}_3}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}} \\ =\frac{5{\mathrm{x}}_3}{{\displaystyle \frac{5}{12}}}=12{\mathrm{x}}_3 \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}_3}{{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{t}}_3}}}=12{\mathrm{x}}_3\Rightarrow \frac{1}{{\mathrm{t}}_3}.12{\mathrm{x}}_3={\mathrm{x}}_3 \\ \Rightarrow {\mathrm{t}}_3=\frac{12{\mathrm{x}}_3}{{\mathrm{x}}_3}=12 \end{gathered}$$

Vậy đội 3 làm xong công việc trong 12 ngày.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm 15 người là x

(0 < x < 12) (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm 15 công nhân thì số công nhân sau khi tăng là:

45+15 = 60 công nhân

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} 45.12=60\mathrm{x}\Rightarrow 60\mathrm{x}=540 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=9 \mathrm{giờ} \end{gathered}$$

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi

12 - 9 = 3 giờ