Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a thì:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2={\mathrm{x}}_3{\mathrm{y}}_3=...=\mathrm{a} \\ \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{y}}_1}; \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{y}}_1}; ... \end{gathered}$$

Xét các tích giá trị của x và y, ta được:

10.10 = 20.5 = 25.4 = 30. $\frac{10}{3}$= 40.2,5 = 100

Nên y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch và $\mathrm{y}=\frac{5}{\mathrm{x}}$ nên hệ số tỉ lệ a = 5, do đó

${\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2={\mathrm{x}}_3{\mathrm{y}}_3=...=5$

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}$ với $\mathrm{a}\ne 0$ thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a

Vì x và y là hai đai lượng tỉ lê nghịch nên ta có:

7.4 = 5.y $\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{28}{5}=5,6$

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}$ thì ta nói x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ b 

Xét các tích giá trị của x và y ta được:

5.2 = (-1).(-10) = 10.1 = 2.5 = 4.2,5 = 10

Nên y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì x và y là hai đai lượng tỉ lê nghịch nên ta có:

6.7 = 3.y $\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{42}{3}=14$

Với x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2$ mà ${\mathrm{x}}_1=4, {\mathrm{x}}_2=3$ và ${\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2=14$

Do đó: $4{\mathrm{y}}_1=3{\mathrm{y}}_2\Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}_1}{3}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{{\mathrm{y}}_1}{3}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{4}=\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{3+4}=\frac{14}{7}=2$

Do đó:

$\frac{{\mathrm{y}}_1}{3}=2\Rightarrow {\mathrm{y}}_1=6; \frac{{\mathrm{y}}_2}{4}=2\Rightarrow {\mathrm{y}}_2=8$

Vậy ${\mathrm{y}}_2=8$

Vì y tỉ lệ nghịch với z theo tỉ lệ ${\mathrm{k}}_1\left({\mathrm{k}}_1\ne 0\right)$ nên $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{k}}_1}{\mathrm{x}}$

Và x tỉ lệ nghịch với z theo tỉ lệ ${\mathrm{k}}_2\left({\mathrm{k}}_2\ne 0\right)$ nên $\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{z}}$

Thay $\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{z}}$ vào $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{k}}_1}{\mathrm{x}}$ ta được $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{k}}_1}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{z}}}}=\frac{{\mathrm{k}}_1}{{\mathrm{k}}_2}\mathrm{z}$

Nên y và z tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ $\frac{{\mathrm{k}}_1}{{\mathrm{k}}_2}$

Vì y tỉ lệ nghịch với z theo tỉ lệ -4 nên $\mathrm{y}=\frac{-4}{\mathrm{x}}$

Và x tỉ lệ nghịch với z theo tỉ lệ $\frac{3}{4}$ nên $\mathrm{x}=\frac{3}{4\mathrm{z}}$

Thay $\mathrm{x}=\frac{3}{4\mathrm{z}}$ vào $\mathrm{y}=\frac{-4}{\mathrm{x}}$ ta được $\mathrm{y}=\frac{-4}{{\displaystyle \frac{3}{4\mathrm{z}}}}=\frac{-16}{3}\mathrm{z}$

Nên y và z tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ $\frac{-16}{3}$

Với x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2$ mà ${\mathrm{x}}_2=-3; {\mathrm{y}}_1=8$ và $4{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{y}}_2=24$

Nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1.8=\left(-3\right).{\mathrm{y}}_2 \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}_1}{-3}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{8}=\frac{4{\mathrm{x}}_1+3{\mathrm{y}}_2}{4.\left(-3\right)+3.8} \\ =\frac{24}{12}=2 \end{gathered}$$

Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}_1}{-3}=2\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-6 \\ \frac{{\mathrm{y}}_2}{8}=2\Rightarrow {\mathrm{y}}_2=16 \end{gathered}$$

Vậy ${\mathrm{x}}_1=-6; {\mathrm{y}}_2=16$

Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ $\frac{4}{3}$ nên $\mathrm{y}=\frac{4}{3}\mathrm{x}$

Vì x tỉ lệ nghịch với z theo tỉ lệ $\frac{6}{7}$ nên $\frac{6}{7\mathrm{z}}$

Thay $\mathrm{x}=\frac{6}{7\mathrm{z}}$ vào $\mathrm{y}=\frac{4}{3}\mathrm{x}$ ta được $\mathrm{y}=\frac{4}{3}.\frac{6}{7\mathrm{z}}=\frac{8}{7\mathrm{z}}$ hay $\mathrm{y}.\mathrm{z}=\frac{8}{7}$

Do đó y và z tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $\frac{8}{7}$

Nên hệ số tỉ lệ là:

$\mathrm{a}=\mathrm{x}.\mathrm{y}=\left(-\frac{1}{2}\right).8=-4$

Công thức biểu diễn y theo x là $\mathrm{y}=\frac{-4}{\mathrm{x}}$

Và a = -4 ; $\mathrm{y}=\frac{-4}{\mathrm{x}}$

Vì x và y là hai đai lượng tỉ lệ nghịch với nhau và x = -2 thì $\mathrm{y}=\frac{1}{8}$

Nên hệ số tỉ lệ là $\mathrm{a}=\mathrm{x}.\mathrm{y}=\left(-2\right).\frac{1}{8}=\frac{-1}{4}$

Công thức biểu diễn y theo x là $\mathrm{y}=\frac{-1}{4\mathrm{x}}$

Và $\mathrm{a}=\frac{-1}{4}; \mathrm{y}=\frac{-1}{4\mathrm{x}}$

Với x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2$ mà ${\mathrm{x}}_1=2, {\mathrm{x}}_2=5$ và ${\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2=21$

Do đó: $2{\mathrm{y}}_1=5{\mathrm{y}}_2\Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}_1}{5}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{y}}_1=5{\mathrm{y}}_2 \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}_1}{5}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{2}=\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{5+2}=\frac{21}{7}=3 \end{gathered}$$

Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{y}}_1}{5}=3\Rightarrow {\mathrm{y}}_1=15 \\ \frac{{\mathrm{y}}_2}{2}=3\Rightarrow {\mathrm{y}}_2=6 \end{gathered}$$

Vậy ${\mathrm{y}}_1=15$

Với x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ${\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1={\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2$ ${\mathrm{x}}_2=-4; {\mathrm{y}}_1=-10 \mathrm{và} 3{\mathrm{x}}_1-2{\mathrm{y}}_2=32$

Nên ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1.\left(-10\right)=\left(-4\right).{\mathrm{y}}_2 \\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}_1}{-4}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{-10} \\ =\frac{3{\mathrm{x}}_1-2{\mathrm{y}}_2}{3.\left(-4\right)-2.\left(-10\right)}=\frac{32}{8}=4 \end{gathered}$$

Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}_1}{-4}=4\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-16 \\ \frac{{\mathrm{y}}_2}{-10}=4\Rightarrow {\mathrm{y}}_2=-40 \end{gathered}$$

Vậy ${\mathrm{x}}_1=-16; {\mathrm{y}}_2=-40$