Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.

Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,

∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

(không thỏa mãn điều kiện x > 0);

(thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.

Đa thức –5,8x2 + 11,8x + 7 ở vế trái của phương trình có bậc là 2; hệ số của x2 là –5,8; hệ số của x là 11,8 và hệ số tự do là 7.

Hai ví dụ về phương trình bậc hai ẩn t:

t2 – 2t + 3 = 0; t2 + 1 = 0.

Hai ví dụ về phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn:

0x2 – x = 2; x + 1 = 0.

(x – 2)2 = 0

      x – 2 = 0

      x = 2.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2.

(x – 1)2 = 9

     x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3

     x = 4 hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

(x – 3)2 = –1.

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên phương trình (x – 3)2 = –1 vô nghiệm.

Ta có:

(x – 4)2 = 11

hoặc

hoặc

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và

Ta có:

x2 – 2x – 8 = 0   

x2 – 2x + 1 – 9 = 0

(x – 1)2 = 9.

Vậy ta điền được số thích hợp cho như sau:

Ta có:

(x – 1)2 = 9

     x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3

     x = 4 hoặc x = –2.

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

Vì chia hai vế của phương trình (1) cho số 2 khác 0, ta được phương trình (2) nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

3x2 – x – 0,5 = 0

Phương trình có các hệ số a = 3, b = –1, c = –0,5,

∆ = (–1)2 – 4.3.(–0,5) = 7 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

 4x2 + 10x + 15 = 0

Phương trình có các hệ số a = 4, b = 10, c = 15,

∆ = 102 – 4.4.15 = –140 < 0.

Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Phương trình có các hệ số a = –1, b = 1,

Do ∆ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép

Ta có ∆ = b2 – 4ac = (2b’)2 – 4ac = 4b’2 – 4ac = 4(b’2 – ac) = 4∆’.

Vậy ∆ = 4∆’.

Trường hợp 1: ∆’ > 0 nên 4∆’ > 0 hay ∆ > 0.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Trường hợp 2: ∆’ = 0 nên 4∆’ = 0 hay ∆ = 0.

Khi đó phương trình có nghiệm kép là:

Trường hợp 3: ∆’ < 0 nên 4∆’ < 0 hay ∆ < 0.

Khi đó phương trình vô nghiệm.

–3x2 + 12x – 35 = 0

Phương trình có các hệ số a = –3, b = 12, c = –35. Do b = 12 nên b’ = 6.

Ta có: ∆’ = 62 – (–3).(–35) = –69 < 0.

Do ∆’ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

–25x2 + 30x – 9 = 0

Phương trình có các hệ số a = –25, b = 30, c = –9. Do b = 30 nên b’ = 15.

Ta có: ∆’ = 152 – (–25).(–9) = 0.

Do ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép

Giải phương trình: –5,8x2 + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.

Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,

∆ = 11,82 – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

(không thỏa mãn điều kiện x > 0);

(thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x1 = 3,209971027.

Ấn tiếp phím ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x2 = –0,3815439022.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 ≈ 3,2; x2 ≈ –0,4.

⦁ Xét phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 – 4ac.

Theo bài, nếu ac < 0 thì – 4ac > 0.

Mà b2 ≥ 0 nên b2 – 4ac > 0, hay ∆ > 0.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Xét phương trình ax2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b2 – 4ac.

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0, hay b2 – 4ac > 0, suy ra b2 > 4ac.

Ta thấy có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: b2 > 4ac > 0 thì khi đó ta có ac > 0.

Trường hợp 2: 4ac < 0 thì khi đó ta có ac < 0.

Vậy khẳng định chiều ngược lại là không đúng.

2x2 – 0,5x + 0,03 = 0

Phương trình có các hệ số a = 2; b = –0,5; c = 0,03;

∆ = (–0,5)2 – 4.2.0,03 = 0,01 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

–16x2 + 8x – 1 = 0

Phương trình có các hệ số a = –16, b = 8, c = –1. Do b = 8 nên b’ = 4.

Ta có: ∆’ = 42 – (–16).(–1) = 0.

Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép

–2x2 + 5x – 4 = 0

Phương trình có các hệ số a = –2, b = 5, c = –4,

∆ = 52 – 4.(–2).(–4) = –7 < 0.

Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Phương trình có các hệ số a = 3, b = c = 0,

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Khi t = 5, thay vào công thức v = 3t2 – 30t + 135, ta được:

v = 3.52 – 30.5 + 135 = 60.

Vậy khi t = 5 thì tốc độ của ô tô là 60 km/h.

Khi tốc độ của ô tô bằng 120 km/h, tức là v = 120, thay vào công thức v = 3t2 – 30t + 135, ta có:

3t2 – 30t + 135 = 120

3t2 – 30t + 15 = 0

t2 – 10t + 5 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –10, c = 5. Do b = –10 nên b’ = –5.

Ta có: ∆’ = (–5)2 – 1.5 = 20 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

Ta thấy cả hai giá trị trên của t đều thỏa mãn điều kiện t > 0.

Vậy khi t ≈ 1 phút và t ≈ 9 phút thì tốc độ của ô tô bằng 120 km/h.

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2020 là: 

5 000 – 5 000.x% = 5 000 – 50x (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

5 000 – 50x – (5 000 – 50x).x%

= 5 000 – 50x – 50x + 0,5x2

= 5 000 – 100x + 0,5x2 (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

5 000 – 5 000.51% = 2 450.

Khi đó, ta có phương trình: 5 000 – 100x + 0,5x2 = 2 450.

Giải phương trình:

5 000 – 100x + 0,5x2 = 2 450

0,5x2 – 100x + 2 550 = 0

x2 – 200x + 5 100 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –200, c = 5 100. Do b = –200 nên b’ = –100.

Ta có: ∆’ = (–100)2 – 1. 5 100 = 4 900 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Ta thấy chỉ có giá trị x2 = 30 thỏa mãn điều kiện vì x% < 100%.

Vậy x = 30 là giá trị cần tìm.

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều dài của mảnh đất là x + 10 (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: x(x + 10) (m2).

Độ dài cạnh góc vuông của phần đất dạng tam giác vuông cân để trồng hoa là: (m).

Diện tích mảnh đất trồng hoa là: (m2).

Diện tích phần đất còn lại là: (m2).

Theo bài, diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần đất trồng hoa là 408 m2 nên ta có phương trình:

Giải phương trình:

32x2 + 320x – x2 = 13 056

31x2 + 320x – 13 056 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 31, b = 320, c = –13 056.

Do b = 320 nên b’ = 160.

Ta có: ∆’ = 1602 – 31.(–13 056) = 430 336 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

(thỏa mãn điều kiện x > 0);

(không thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 16 m.