Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu phương trình của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz và cách lập phương trình của đường thẳng.

Giá của vectơ là đường thẳng A'C'.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AC // A'C'.

Vậy giá của vectơ và đường thẳng AC song song với nhau.

Do vectơ khác và có giá là đường thẳng B'D' song song với đường thẳng BD nên vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD.

Vì vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.

Lại có vectơ có giá là đường thẳng M0M hay chính là đường thẳng ∆.

Từ đó suy ra hai vectơ và có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương.

Ta có .

.

Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

(t là tham số).

Vì M(x; y; z) ∈ ∆ nên .

Khi đó , , .

Suy ra .

Vậy tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) thỏa mãn hệ phương trình .

Ta có .

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là .

Vì ∆1 và ∆2 cắt nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ , và đồng phẳng vì giá của mỗi vectơ này đều cùng nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau ∆1 và ∆2.

Vì ∆1 và ∆2 chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ , và không đồng phẳng.

Xét hệ phương trình .

Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là t1 = 2, t2 = 1.  

Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau.

Ta có .

Mà , nên .

Vậy .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là .

Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là , và .

Ta có:

cos (∆, Ox) = ;

cos (∆, Oy) = ;

cos (∆, Oz) = ;

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là , và .

Ta có:

sin (Ox, (P)) = ;

sin (Oy, (P)) = ;

sin (Oz, (P)) = .

Vì ∆1 ⊥ (P1) và ∆'1 song song hoặc trùng với ∆1 nên ∆'1 ⊥ (P1).

Tương tự ∆'2 ⊥ (P2).

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng ∆'1, ∆'2 luôn là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) nên góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 không phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ∆1, ∆2.

Theo Ví dụ 10, ta có AD' ⊥ (CDA'B').

Mặt khác, ta có AB ⊥ (BCC'B'), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B') là góc giữa hai đường thẳng AB và AD', đó là góc BAD'.

Lại có AB ⊥ (ADD'A'), suy ra AB ⊥ AD', do đó .

Vậy ((BCC'B'), (CDA'B')) = .

Vì ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P1), (P2) nên ∆1 ⊥ (P1) và ∆2 ⊥ (P2).

Khi đó, ((P1), (P2)) = (∆1, ∆2). Suy ra cos ((P1), (P2)) = cos (∆1, ∆2).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: (t là tham số).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: .

Đáp án đúng là: C

Các vectơ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), (P3), (P4).

Ta có . Suy ra .

Vậy mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (P3).

Với t = 0 ta có . Suy ra A(1; 3; – 1) ∈ ∆.

Với t = 1 ta có . Suy ra B(0; 5; 2) ∈ ∆.

Thay tọa độ điểm C(6; – 7; – 16) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:

. Do đó, C ∈ ∆.

Thay tọa độ điểm D(– 3; 11; – 11) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:

(vô lí). Do đó, D ∉ ∆.

Vậy trong hai điểm C và D, chỉ có điểm C thuộc đường thẳng ∆.

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương là: (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương là: .

Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: (t' là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: .

Lưu ý: Ở ý b này, ta có thể lấy điểm N làm điểm mà đường thẳng ∆ đi qua để viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 11; – 6; 10) và có  là vectơ chỉ phương.

Ta có , suy ra , cùng phương;

và nên không cùng phương.

Vậy ∆1 // ∆2.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(– 1; 1; 0) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(1; 3; 1) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có: , .

Do 4 ∙ 2 + (– 7) ∙ 2 + 5 ∙ 1 = – 1 ≠ 0 nên không đồng phẳng.

Vậy ∆1 và ∆2 chéo nhau.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là , .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là , .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 11°.

Do (P1), (P2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là , nên

cos ((P1), (P2)) = .

Suy ra ((P1), (P2)) = 60°.

Ta có: .

Các vectơ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên

cos (SA, CD) =   (do a > 0).

Suy ra (SA, CD) = 60°.

Ta có .

Xét vectơ  .

Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là .

Ta có sin (SD, (SAC)) =

      .

Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(3,5; – 2; 0,4) và nhận làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: (t là tham số).

Lưu ý: Ta có thể chọn điểm đi qua là B để viết phương trình tham số hoặc có thể viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có vectơ pháp tuyến là .

Ta có sin (AB, (Oxy)) = .

Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 3° ∈ (2,5°; 3,5°).

Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

Ta có .

Xét vectơ , hay .

Khi đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phẳng (α).

Phương trình mặt phẳng (α) là:

– 2,5(x – 5) + 2,5(y – 0) – 25(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 10z – 5 = 0.

Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).

Vì C ∈ AB nên gọi tọa độ điểm C là C(3,5; – 2 + 7,5t; 0,4 – 0,4t).

Lại có C ∈ (α) nên ta có 3,5 – (– 2 + 7,5t) + 10(0,4 – 0,4t) – 5 = 0, suy ra t = .

Vậy C.

Vì D ∈ AB nên gọi tọa độ điểm D là D(3,5; – 2 + 7,5t'; 0,4 – 0,4t').

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120 m và bằng 0,12 km.

Ta có d(D, (Oxy)) = = |0,4 – 0,4t'|.

Khi đó, |0,4 – 0,4t'| = 0,12 .

Với t' = 0,7, ta có D(3,5; 3,25; 0,12).

Với t' = 1,3, ta có D(3,5; 7,75; – 0,12).

Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5; 3,25; 0,12).

Ta có (km)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m = 0,9 km < 1,256 km nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.