30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 CTST Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó?

Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm (d₁), khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d₂), khoảng cách từ một điểm đếm một đường thẳng (d₃), (d₄) khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (d₅).

Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây, còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi.

Câu 2:

14/07/2024

a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M; a) dùng êke để tìm H trên a sao cho MH ⊥ a (Hình 1a) . Đo độ dài đoạn MH.

a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M; a) (ảnh 1)

a) Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a.

Câu 3:

19/07/2024

b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH.

b) Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P.

Câu 4:

12/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA = a và SA ⊥ (ABCD). Cho biết OA = a.

a) Tính khoảng cách từ B đến (SAD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA = a và SA vuông góc (ABCD). Cho biết OA = a. (ảnh 1)

a) Ta có:

$\begin{matrix} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B \\ A B ⊥ A D \end{matrix}\} \Rightarrow AB ⊥ (SAD)$

d(B, (SAD)) = AB = a

Câu 5:

23/07/2024

b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.

b) Kẻ AH ⊥ SC.

Khi đó, d(A, SC) = AH.

• Tam giác ABC vuông tại B nên $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$ .

• Tam giác SAC vuông tại A nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

T• am giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên $A H = \frac{S A . A C}{S C} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy d(A, SC) =

\frac{a \sqrt{6}}{3}

Câu 6:

22/07/2024

Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.

Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ quạt đến sàn (ảnh 1)

Đổi 20 cm = 0,2 m

Độ dài của cán quạt là: 3,6 − 2,5 − 0,2 = 0,9 (m)

Vậy phải làm cán quạt dài 0,9 m.

Câu 7:

15/07/2024

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B

trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi (ảnh 1)

a) Ta có:

$\begin{matrix} A H ⊥ (P) \\ B K ⊥ (P) \end{matrix}\} \Rightarrow AH / / BK$

Mà AB // HK $\Rightarrow$ ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (P)

$\Rightarrow A H ⊥ H K \Rightarrow \hat{A H K} = 90 °$

$\Rightarrow$ ABKH là hình chữ nhật.

Vậy AH = BK.

Câu 8:

19/07/2024

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) . Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

b) Ta có:

$\begin{matrix} A H ⊥ (Q) \\ B K ⊥ (Q) \end{matrix}\} \Rightarrow AH / / BK$

Mà AB // HK $\Rightarrow$ ABKH là hình bình hành có AH ⊥ (Q)

\Rightarrow A H ⊥ H K \Rightarrow \hat{A H K} = 90 °

$\Rightarrow$ ABKH là hình chữ nhật.

Vậy AH = BK.

Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách :

a) Giữa hai mặt phẳng (ACD′) và (A′C′B) ;

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách : (ảnh 1)

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách : (ảnh 2)

Câu 10:

b) Giữa đường thẳng AB và (A′B′C′D′).

b) Ta có: AB // (A′B′C′D′).

Do đó d(AB, (A′B′C′D′)) = AA′ = a

Câu 11:

22/07/2024

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng a, vuông góc với (Q) và cắt b tại J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J vuông góc với a và cắt a tại điểm I.

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với (ảnh 1)

Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích.

Ta có $\{\begin{cases} a // (Q) \\ a' = (P) \cap (Q) \end{cases}$

$\Rightarrow a // a'; I J ⊥ a \Rightarrow I J ⊥ a'$

Mà (P) ⊥ (Q) $\Rightarrow$ IJ ⊥ (Q) $\Rightarrow$ IJ ⊥ b

Câu 12:

09/07/2024

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) OA và BC;

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. (ảnh 1)

a) Tam giác OBC vuông cân tại O. Gọi H là trung điểm của BC suy ra OH ⊥ BC

Ta lại có: $\{\begin{cases} O A ⊥ O B \\ O A ⊥ O C \end{cases} \Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ O H$

Do đó OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC.

Khi đó $d (O A, B C) = O H = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 13:

13/07/2024

Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.

Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a (ảnh 1)

Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng a nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Vậy d(a, b) = 3,2 m.

Câu 14:

15/07/2024

Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước là a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.

Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước là a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các (ảnh 1)

Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là: abc = 8.3.4 = 96 (hình).

Vậy số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là 96 hình.

Câu 15:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba (ảnh 1)

Chia khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ thành ba khối chóp: A.A′B′C′, B′.ABC và C.A′B′C′.

Câu 16:

17/07/2024

Tính thể tích của một bồn chứa có dạng khối chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.

Diện tích đáy lớn là: S = 5²= 25 (m²)

Diện tích đáy bé là: S′ = 2²= 4 (m²)

Thể tích của bồn chứa là:

V = \frac{1}{3} .3 (25 + \sqrt{25.4} + 4) = 39 (m^{3})

Câu 17:

Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.

Ta có khối nêm là lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông có các cạnh góc vuông lần lượt là 7cm và 24 cm.

Do đó diện tích đáy là: $S = \frac{1}{2} .7.24 = 84 (c m^{2})$

Chiều cao của khối lăng trụ là h = 22 cm

Thể tích của khối nêm là: V = S.h = 84.22 = 1848 (cm³)

Câu 18:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, $\hat{A B C} = 60 °, S O ⊥ (A B C D),$ $S O = a \sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 2)

Câu 19:

19/07/2024

Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. (ảnh 1)

a) Gọi M là trung điểm của AB.

Ta có $\{\begin{cases} C M ⊥ A B \\ D M ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (M C D) \Rightarrow A B ⊥ C D$

Câu 20:

22/07/2024

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc M của trên CD.

Ta có $\{\begin{cases} (C M D) ⊥ A B \\ C D ⊥ M H \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M H ⊥ A B \\ C D ⊥ M H \end{cases}$

Do đó MH là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A = S B = S C = S D = a \sqrt{2}$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh AB ⊥ (SIJ).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (ảnh 1)

a) Ta có: ΔSAB cân tại S và đáy là hình vuông ABCD.

$\Rightarrow \{\begin{cases} S I ⊥ A B \\ I J ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S I J) .$

Câu 22:

20/07/2024

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

b) Ta có: AB // CD $\Rightarrow$ AB // (ABCD)

$\Rightarrow$ d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD))

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, O trên SJ

Ta có $\{\begin{cases} I H / / O K \\ I H = 2 O K \end{cases}$

Vì AB // CD nên CD ⊥ (SIJ) $\Rightarrow$ CD ⊥ IH $\Rightarrow$ IH ⊥ (SCD)

$\Rightarrow$ d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = IH = 2OK

Ta có: ABCD là hình vuông

$\Rightarrow O A = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A D^{2} + C D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSAO vuông tại O có

$S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

• Xét ΔSOJ vuông tại O có đường cao OK nên

$O K = \frac{S O . OJ}{\sqrt{S O^{2} + O J^{2}}} = \frac{a \sqrt{42}}{14}$

Do đó $d (A B, S C) = 2 O K = \frac{a \sqrt{42}}{7}$ .

Câu 23:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 60°.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

a) Vì khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ đều nên gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AM ⊥ BC. Do đó góc giữa hai mặt phẳng ((A′BC), (ABC)) = $\hat{S M A} = 60 °$ .

Do đó khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ là:

$A A^{'} = A M . \tan \hat{S M A} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \tan 60 ° = \frac{3 a}{2} .$

Câu 24:

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

b) Thể tích khối lăng trụ là: $V = A A^{'} . S_{Δ A B C} = \frac{3 a}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} a^{3} .$

Câu 25:

Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b.

Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, (ảnh 1)

Vì tay vịn cầu song song với mặt đường nên khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

chính bằng khoảng cách từ đường thẳng a xuống mặt đường.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng: 3,5 + 0,8 = 4,3 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là 4,3 m.

Câu 26:

Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và $A C = a \sqrt{3}$ .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA′.

b) Tính thể tích của khối hộp.

Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên AA′ = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và (ảnh 1)

Câu 27:

14/07/2024

Câu 28:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy. (ảnh 1)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy. (ảnh 2)

Câu 29:

b) Tính thể tích của khối chóp.

b) $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Thể tích khối chóp là:

$V = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

Câu 30:

17/07/2024

Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ với O và O′ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}, O O^{'} = a$ .