– Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng dựa trên lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a: 

aⁿ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

– Tính chất của lũy thừa mà ta đã học ở các lớp dưới:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

⦁ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

a) Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a: aⁿ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

b) Quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a (với a khác 0) là: a⁰ = 1.

Ta có:

$$\begin{gathered} M={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}+{\left(0,4\right)}^{-4}\cdot {25}^{-2}\cdot {\left(\frac{1}{32}\right)}^{-1}. \\ ={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {27}^5+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{-4}\cdot \frac{1}{{25}^2}\cdot {32}^1 \\ =\frac{1}{3^{12}}\cdot {\left(3^3\right)}^5+{\left(\frac{5}{2}\right)}^4\cdot \frac{1}{{\left(5^2\right)}^2}\cdot 2^5 \\ =\frac{1}{3^{12}}\cdot 3^{15}+\frac{5^4}{2^4}\cdot \frac{1}{5^4}\cdot 2^5 \\ =3^3+2=27+2=29. \end{gathered}$$

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x² = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x³ = a.

Ta thấy: 2⁶ = 64 và (–2)⁶ = 64

Do đó, 2 và –2 là căn bậc 6 của 64.

a) ⦁ Ta có: ${\left(\sqrt{a^2}\right)}^2=a^2;{\left(\left|a\right|\right)}^2=a^2,$với mọi số thực a

Do đó $\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

⦁ Ta có: ${\left(\sqrt[3]{a^3}\right)}^3=a^3;{\left(a\right)}^3=a^3,$ với mọi số thực a

Do đó $\sqrt[3]{a^3}=a.$

b) Với a, b là hai số thực dương, ta có: ${\left(\sqrt{a\cdot b}\right)}^2=ab;{\left(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\right)}^2=ab$

Do đó $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}=\sqrt[3]{{\left(\frac{5}{4}\right)}^3}\cdot \sqrt[4]{3^4}=\frac{5}{4}\cdot 3=\frac{15}{4};$

a) Ta có: $2^{{}^{\frac{6}{3}}}=2^2;$

b) Ta có: $\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{{\left(2^2\right)}^3}=2^2$

Mà $2^{{}^{\frac{6}{3}}}=2^2$ nên $2^{{}^{\frac{6}{3}}}=\sqrt[3]{2^6}.$

Với x > 0 và y > 0, ta có:

$$\begin{gathered} N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+x{y}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=\frac{\sqrt[3]{x^4}y+x\sqrt[3]{y^4}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} \\ =\frac{\sqrt[3]{x^3}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot y+x\cdot \sqrt[3]{y^3}\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} \\ =\frac{\sqrt[3]{x^3}\cdot x\cdot y+x\cdot y\cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} \\ =\frac{xy\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}=xy. \end{gathered}$$

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁ r₁ = 1 thì $3^{r_1}=3;$

⦁ r₂ = 1,4 thì $3^{r_2}=4,\mathrm{655536722...}\approx 4,66;$

... 

⦁ r₆ = 1,41421 thì $3^{r_6}=4,\mathrm{728785881...}\approx 4,73;$

…

Dự đoán: $3^{\sqrt{2}}\approx 4,73.$

Tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};$

⦁ ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Ta có: ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12;{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18$

Vì 12 < 18, nên $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$

Do cơ số 2 lớn hơn 1 nên $2^{2\sqrt{3}}<2^{3\sqrt{2}}.$

a) ${\left(-2,7\right)}^{-4}\approx 0,02;$

b) ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{\sqrt[3]{4}+1}\approx 0,45.$

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{a^5};$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b^1;$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}:a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a^1;$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{b}.$

Ta có: $1^{1,5}=1^{\frac{3}{2}}=\sqrt{1^3}=1;3^{-1}=\frac{1}{3};{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$

Vì $\frac{1}{3}<1<4$ nên $3^{-1}<1^{1,5}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}.$

Ta có: ${2022}^0=1;{\left(\frac{4}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{4};5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên $6^{\sqrt{3}}<6^2,$ do đó $6^{\sqrt{3}}<36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3}<\sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${\left(0,2\right)}^{\sqrt{3}}>{\left(0,2\right)}^{\sqrt{5}}.$

Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là: $P=d^{\frac{3}{2}}=1,{52}^{\frac{3}{2}}\approx 1,87\left(AU\right)$