24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Đề số 1

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 1. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

178 lượt thi
24 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó.

Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng như thế nào? Những phép lũy thừa đó có tính chất gì?

– Những khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của một số thực được xây dựng dựa trên lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a:

aⁿ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

– Tính chất của lũy thừa mà ta đã học ở các lớp dưới:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n};$

⦁ ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${(a^{m})}^{n} = a^{m . n};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Câu 2:

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a.

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

a) Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a: aⁿ = a . a . a ... a (n thừa số a) với n là số nguyên dương.

Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

b) Quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a (với a khác 0) là: a⁰ = 1.

Câu 3:

Tính giá trị của biểu thức: $M = {(\frac{1}{3})}^{12} \cdot {(\frac{1}{27})}^{- 5} + {(0, 4)}^{- 4} \cdot 25^{- 2} \cdot {(\frac{1}{32})}^{- 1} .$

Ta có:

$M = {(\frac{1}{3})}^{12} \cdot {(\frac{1}{27})}^{- 5} + {(0, 4)}^{- 4} \cdot 25^{- 2} \cdot {(\frac{1}{32})}^{- 1} . = {(\frac{1}{3})}^{12} \cdot 27^{5} + {(\frac{2}{5})}^{- 4} \cdot \frac{1}{25^{2}} \cdot 32^{1} = \frac{1}{3^{12}} \cdot {(3^{3})}^{5} + {(\frac{5}{2})}^{4} \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{2}} \cdot 2^{5} = \frac{1}{3^{12}} \cdot 3^{15} + \frac{5^{4}}{2^{4}} \cdot \frac{1}{5^{4}} \cdot 2^{5} = 3^{3} + 2 = 27 + 2 = 29.$

Câu 4:

a) Với a là số thực không ân, nêu định nghĩa căn bậc hai của a.

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a.

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt{a}$ là số x sao cho x² = a.

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho x³ = a.

Câu 5:

Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không?

Ta thấy: 2⁶ = 64 và (–2)⁶ = 64

Do đó, 2 và –2 là căn bậc 6 của 64.

Câu 6:

a) Với mỗi số thực a, so sánh: $\sqrt{a^{2}}$ và |a|; $\sqrt[3]{a^{3}}$ và a.

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh $\sqrt{a \cdot b}$ và $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} .$

a) ⦁ Ta có: ${(\sqrt{a^{2}})}^{2} = a^{2}; {(|a|)}^{2} = a^{2},$ với mọi số thực a

Do đó $\sqrt{a^{2}} = |a| .$

⦁ Ta có: ${(\sqrt[3]{a^{3}})}^{3} = a^{3}; {(a)}^{3} = a^{3},$ với mọi số thực a

Do đó $\sqrt[3]{a^{3}} = a .$

b) Với a, b là hai số thực dương, ta có: ${(\sqrt{a \cdot b})}^{2} = a b; {(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})}^{2} = a b$

Do đó $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} .$

Câu 7:

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}} . \sqrt[4]{81};$

b) $\frac{\sqrt[5]{98} . \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}} .$

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{81} = \sqrt[3]{{(\frac{5}{4})}^{3}} \cdot \sqrt[4]{3^{4}} = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4};$

b)

\frac{\sqrt[5]{98} \cdot \sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}} = \sqrt[5]{\frac{98 \cdot 343}{64}} = \sqrt[5]{\frac{2 \cdot 7^{2} \cdot 7^{3}}{2^{6}}} = \sqrt[5]{\frac{7^{5}}{2^{5}}} = \sqrt[5]{{(\frac{7}{2})}^{5}} = \frac{7}{2} .

Câu 8:

Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh $2^{^{\frac{6}{3}}}$ và 2²;

b) So sánh $2^{^{\frac{6}{3}}}$ và $\sqrt[3]{2^{6}} .$

a) Ta có: $2^{^{\frac{6}{3}}} = 2^{2};$

b) Ta có: $\sqrt[3]{2^{6}} = \sqrt[3]{{(2^{2})}^{3}} = 2^{2}$

Mà $2^{^{\frac{6}{3}}} = 2^{2}$ nên $2^{^{\frac{6}{3}}} = \sqrt[3]{2^{6}} .$

Câu 9:

Rút gọn mỗi biểu thức:

N = \frac{x^{\frac{4}{3}} y + x y^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} (x > 0, y > 0) .

Với x > 0 và y > 0, ta có:

$N = \frac{x^{\frac{4}{3}} y + x y^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{\sqrt[3]{x^{4}} y + x \sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot y + x \cdot \sqrt[3]{y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{\sqrt[3]{x^{3}} \cdot x \cdot y + x \cdot y \cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{x y (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = x y .$

Câu 10:

Xét số vô tỉ $\sqrt{2} = 1, 414213562...$

Xét dãy số hữu tỉ r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41; r₄ = 1,414; r₅ = 1,4142; r₆ = 1,41421; ... và $\lim r_{n} = \sqrt{2} .$ Bằng cách tính $3^{r_{n}}$ tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số (r_n) và $(3^{r_{n}})$ với n = 1, 2, ..., 6. Người ta chứng minh được rằng khi n → +∞ thì dãy số $(3^{r_{n}})$ dần đến một giới hạn mà ta gọi là $3^{\sqrt{2}} .$

Nêu dự đoán về giá trị của số $3^{\sqrt{2}}$ (đến hàng phần trăm).

Xét số vô tỉ căn 2 = 1,413213562 Xét dãy số hữu tỉ r1 = 1; r2 = 1,4; r3 = 1,41; r4 = 1,414; r5 = 1,4142; r6 = 1,41421; ... (ảnh 1)

Từ Bảng 1 ta thấy:

⦁ r₁ = 1 thì $3^{r_{1}} = 3;$

⦁ r₂ = 1,4 thì $3^{r_{2}} = 4, 655536722... \approx 4, 66;$

...

⦁ r₆ = 1,41421 thì $3^{r_{6}} = 4, 728785881... \approx 4, 73;$

…

Dự đoán: $3^{\sqrt{2}} \approx 4, 73.$

Câu 11:

So sánh $10^{\sqrt{2}}$ và 10.

Vì

10^{\sqrt{2}} \approx 25, 95 > 10

nên

10^{\sqrt{2}} > 10.

Câu 12:

Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương:

⦁ a^m . aⁿ = a^m+n;

⦁ $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n};$

⦁ ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n};$

⦁ (a . b)^m = a^m . b^m;

⦁ ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}};$

⦁ Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n;

⦁ Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n.

Câu 13:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $2^{2 \sqrt{3}}$ và $2^{3 \sqrt{2}} .$

Ta có: ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 12; {(3 \sqrt{2})}^{2} = 18$

Vì 12 < 18, nên $2 \sqrt{3} < 3 \sqrt{2}$

Do cơ số 2 lớn hơn 1 nên $2^{2 \sqrt{3}} < 2^{3 \sqrt{2}} .$

Câu 14:

Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) ${(- 2, 7)}^{- 4};$

b) ${(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt[3]{4} + 1} .$

a) ${(- 2, 7)}^{- 4} \approx 0, 02;$

b) ${(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt[3]{4} + 1} \approx 0, 45.$

Câu 15:

Tính ${(\frac{1}{256})}^{- 0, 75} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{4}{3}}$

${(\frac{1}{256})}^{- 0, 75} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{4}{3}} = {(\frac{1}{256})}^{- \frac{3}{4}} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{4}{3}}$

$= 256^{\frac{3}{4}} + 27^{\frac{4}{3}} = \sqrt[4]{256^{3}} + \sqrt[3]{27^{4}} = \sqrt[4]{{(2^{8})}^{3}} + \sqrt[3]{{(3^{3})}^{4}} = \sqrt[4]{2^{24}} + \sqrt[3]{3^{12}} = \sqrt[4]{{(2^{6})}^{4}} + \sqrt[3]{{(3^{4})}^{3}} = 2^{6} + 3^{4} = 64 + 81 = 145.$

Câu 16:

{(\frac{1}{49})}^{- 1, 5} - {(\frac{1}{125})}^{- \frac{2}{3}}

${(\frac{1}{49})}^{- 1, 5} - {(\frac{1}{256})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{49})}^{- \frac{3}{2}} - {(\frac{1}{256})}^{- \frac{2}{3}}$

$= 49^{\frac{3}{2}} - 256^{\frac{2}{3}} = \sqrt{49^{3}} - \sqrt[3]{256^{2}} = \sqrt{{(7^{2})}^{3}} - \sqrt[3]{{(2^{8})}^{2}} = \sqrt{7^{6}} - \sqrt[3]{2^{16}} = \sqrt{{(7^{3})}^{2}} - \sqrt[3]{2 \cdot 2^{15}} = 7^{3} - \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{{(2^{5})}^{3}}$

Câu 17:

Tính $(4^{3 + \sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}) \cdot 2^{- 2 \sqrt{3}}$

$(4^{3 + \sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}) \cdot 2^{- 2 \sqrt{3}} = [{(2^{2})}^{3 + \sqrt{3}} - {(2^{2})}^{\sqrt{3} - 1}] \cdot 2^{- 2 \sqrt{3}}$

$= (2^{6 + 2 \sqrt{3}} - 2^{2 \sqrt{3} - 2}) \cdot 2^{- 2 \sqrt{3}} = 2^{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}} - 2^{2 \sqrt{3} - 2 - 2 \sqrt{3}} = 2^{6} - 2^{- 2} = 64 - \frac{1}{2^{2}} = 64 - \frac{1}{4} = \frac{255}{4} .$

Câu 18:

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a};

b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b};

a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a};

\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} .

a) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^{5}};$

b) $b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b^{1};$

c) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a} = a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = a^{1};$

d) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b} .$

Câu 19:

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\frac{a^{\frac{7}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} (a > 0; a \neq 1);$

$\frac{a^{\frac{7}{3}} - a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} (a^{2} - 1)}{a^{\frac{1}{3}} (a - 1)} = \frac{(a - 1) (a + 1)}{a - 1} = a + 1;$

Câu 20:

Rút gọn mỗi biểu thức sau: $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}} (a > 0, b > 0) .$

$\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}} = \sqrt[3]{{(a^{12} b^{6})}^{\frac{1}{2}}} = {(a^{12} b^{6})}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = {(a^{12} b^{6})}^{\frac{1}{6}} = a^{2} b .$

Câu 21:

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: $1^{1, 5}; 3^{- 1}; {(\frac{1}{2})}^{- 2};$

Ta có: $1^{1, 5} = 1^{\frac{3}{2}} = \sqrt{1^{3}} = 1; 3^{- 1} = \frac{1}{3}; {(\frac{1}{2})}^{- 2} = 2^{2} = 4$

Vì $\frac{1}{3} < 1 < 4$ nên $3^{- 1} < 1^{1, 5} < {(\frac{1}{2})}^{- 2} .$

Câu 22:

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần: $2022^{0}; {(\frac{4}{5})}^{- 1}; 5^{\frac{1}{2}} .$

Ta có: $2022^{0} = 1; {(\frac{4}{5})}^{- 1} = \frac{5}{4}; 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$

Vì

1 < \frac{5}{4} < 2 < \sqrt{5}

nên

2022^{0} < {(\frac{4}{5})}^{- 1} < 5^{\frac{1}{2}} .

Câu 23:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36;

b) ${(0, 2)}^{\sqrt{3}}$ và ${(0, 2)}^{\sqrt{5}}$

a) Ta có 3 < 4 nên $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$

Vì cơ số 6 lớn hơn 1 nên $6^{\sqrt{3}} < 6^{2},$ do đó $6^{\sqrt{3}} < 36.$

b) Ta có: 3 < 5 nên $\sqrt{3} < \sqrt{5}$

Vì cơ số 0,2 thỏa mãn 0 < 0,2 < 1 nên ${(0, 2)}^{\sqrt{3}} > {(0, 2)}^{\sqrt{5}} .$

Câu 24:

Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P = d^{\frac{3}{2}},$ trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất số năm Trái Đất là: $P = d^{\frac{3}{2}} = 1, 52^{\frac{3}{2}} \approx 1, 87 (A U)$

Bắt đầu thi ngay