Lời giải:

Ta có \(0,5 = \frac{1}{2}\); \(11 = \frac{{11}}{1}\); \(3,111 = \frac{{3111}}{{1000}}\); \(4\frac{5}{7} = \frac{{33}}{7}\); \( - 34 = \frac{{ - 34}}{1}\); \( - 1,3 = \frac{{ - 13}}{{10}}\).

Vì các số \(\frac{1}{2}\); \(\frac{{11}}{1}\); \(\frac{{3111}}{{1000}}\); \(\frac{{33}}{7}\); \(\frac{{ - 34}}{1}\); \(\frac{{ - 13}}{{10}}\); \(\frac{{ - 1}}{{ - 3}};\,\,\frac{{ - 9}}{8}\) có dạng \(\frac{a}{b}\), với a, b Î ℤ, b ≠ 0.

Nên các số \(\frac{1}{2}\); \(\frac{{11}}{1}\); \(\frac{{3111}}{{1000}}\); \(\frac{{33}}{7}\); \(\frac{{ - 34}}{1}\); \(\frac{{ - 13}}{{10}}\); \(\frac{{ - 1}}{{ - 3}};\,\,\frac{{ - 9}}{8}\) là số hữu tỉ.

Vậy các số 0,5; 11; 3,111 \(4\frac{5}{7}\); −34; −1,3; \(\frac{{ - 1}}{{ - 3}};\,\,\frac{{ - 9}}{8}\) là số hữu tỉ.

Lời giải:

∙ Vì −345 987 là số nguyên âm nên −345 987 thuộc tập hợp số nguyên.

Do đó -345 987 $\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Vậy ta điền vào ô trống như sau:

Lời giải:

∙ Ta có: $10\frac{34}{75}=\frac{784}{75}$  . Vì 784; 75 Î ℤ; 75 ≠ 0 nên $\frac{784}{75}$ là số hữu tỉ hay  thuộc tập hợp ℚ.

Do đó $10\frac{34}{75} \in \mathrm{\mathbb{Q}}$

Lời giải:

∙ Vì 301$\cancel{⋮}$ 756 nên $\frac{301}{756}$  không thuộc tập hợp số nguyên.

Do đó $\frac{301}{756} \notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Lời giải:

∙ Vì 13; −499 Î ℤ; −499 ≠ 0 nên $\frac{13}{-499}$  là số hữu tỉ hay $\frac{13}{-499}$ thuộc tập hợp ℚ.

Do đó $\frac{13}{-499} \in \mathrm{\mathbb{Q}}$

Lời giải:

∙ Số −11,01 không phải là số nguyên nên -11,01 $\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Lời giải:

∙ Vì −21; −128 Î ℤ; −128 ≠ 0 nên $\frac{-21}{-128}$  là số hữu tỉ hay $\frac{-21}{-128}$ thuộc tập hợp ℚ.

Do đó $\frac{-21}{-128} \in \mathrm{\mathbb{Q}}$

Lời giải:

- An phát biểu sai do 0 viết được dưới dạng phân số \(\frac{0}{1}\) nên 0 là số hữu tỉ.

- Bình phát biểu sai do số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với a, b Î ℤ, b ≠ 0.

- Chi phát biểu đúng do mỗi số nguyên a viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{1}\).

Lời giải:

Ta thấy: \(\frac{3}{4}\) là số hữu tỉ dương và \(0 < \frac{3}{4} < 1\).

Ta chia đoạn thẳng đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới.

Khi đó, điểm biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{4}\) là điểm nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng 3 lần đơn vị mới.

Do đó điểm C biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{4}\).

Vậy trên trục số ở Hình 5, điểm C biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{3}{4}\).

Lời giải:

Số đối của \(\frac{{37}}{{221}}\) là \( - \frac{{37}}{{221}}\);

Số đối của \(\frac{{ - 93}}{{1171}}\) là \( - \left( {\frac{{ - 93}}{{1171}}} \right) = \frac{{93}}{{1171}}\);

Số đối của \(\frac{{87}}{{ - 19\,\,543}}\) là \( - \left( {\frac{{87}}{{ - 19\,\,543}}} \right) = \frac{{87}}{{19\,\,543}}\);

Số đối của 41,02 là −41,02;

Số đối của −791,8 là 791,8.

Vậy số đối của các số \(\frac{{37}}{{221}}\); \(\frac{{ - 93}}{{1171}}\); \(\frac{{87}}{{ - 19\,\,543}}\); 41,02; −791,8 lần lượt là \( - \frac{{37}}{{221}}\); \(\frac{{93}}{{1171}}\); \(\frac{{87}}{{19\,\,543}}\); −41,02; 791,8.

Lời giải:

Số đối của các số \(\frac{{ - 9}}{4}\); \(\frac{{ - 7}}{4}\); −1; \(\frac{{ - 1}}{2}\); 0; 1; \(\frac{5}{4}\) lần lượt là \(\frac{9}{4}\); \(\frac{7}{4}\); 1; \(\frac{1}{2}\); 0; −1; \(\frac{{ - 5}}{4}\).

Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\).

Chia đoạn thẳng đơn vị thành 4 đoạn thẳng bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng \(\frac{1}{4}\) đơn vị cũ.

∙ Số hữu tỉ \(\frac{9}{4}\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng 9 đơn vị mới.

∙ Số hữu tỉ \(\frac{7}{4}\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng 7 đơn vị mới.

∙ Số hữu tỉ \(\frac{1}{2}\) hay số hữu tỉ \(\frac{2}{4}\) nằm bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng 2 đơn vị mới.

∙ Số hữu tỉ \(\frac{{ - 5}}{4}\) nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng 5 đơn vị mới.

Vậy biểu diễn số đối của các số \(\frac{{ - 9}}{4}\); \(\frac{{ - 7}}{4}\); −1; \(\frac{{ - 1}}{2}\); 0; 1; \(\frac{5}{4}\) trên trục số như sau:

Lời giải:

\(3\frac{2}{{11}}\) và 3,2

Ta có: \(3\frac{2}{{11}} = \frac{{35}}{{11}} = \frac{{175}}{{55}}\); \(3,2 = \frac{{16}}{5} = \frac{{176}}{{55}}\).

Vì 175 < 176 nên \(\frac{{175}}{{55}} < \frac{{176}}{{55}}\) hay \(3\frac{2}{{11}} < 3,2\).

Vậy \(3\frac{2}{{11}} < 3,2\).

Lời giải:

\(\frac{{ - 5}}{{211}}\) và −0,01

Ta có \( - 0,01 = \frac{{ - 1}}{{100}} = \frac{{ - 5}}{{500}}\).

Vì 211 < 500 nên \(\frac{5}{{211}} > \frac{5}{{500}}\)

Suy ra \(\frac{{ - 5}}{{211}} < \frac{{ - 5}}{{500}}\) hay \(\frac{{ - 5}}{{211}} < - 0,01\).

Vậy \(\frac{{ - 5}}{{211}} < - 0,01\).

Lời giải:

\(\frac{{105}}{{ - 15}}\) và −7,112

Ta có: \(\frac{{105}}{{ - 15}} = - 7\).

Số đối của −7 và −7,112 lần lượt là 7 và 7,112.

Vì 7 < 7,112 nên −7 > −7,112.

Vậy −7 > −7,112.

Lời giải:

−943,001 và 943,0001.

Ta có: −943,001 < 0 và 943,0001 > 0.

Vậy −943,001 < 943,0001.

Lời giải:

Ta có \(3\frac{2}{{11}} > 1;\,\,2\frac{1}{{12}} > 1\); \(\frac{{15}}{{21}} < 1;\,\,\frac{{17}}{{21}} < 1\).

∙ Nhóm các số lớn hơn 1: \(3\frac{2}{{11}};\,\,2\frac{1}{{12}}\).

Ta thấy hai hỗn số \(3\frac{2}{{11}};\,\,2\frac{1}{{12}}\) có phần nguyên 2 < 3 nên \(2\frac{1}{{12}} < 3\frac{2}{{11}}\).

∙ Nhóm các số nhỏ hơn 1: \(\frac{{15}}{{21}};\,\,\frac{{17}}{{21}}\).

Vì 15 < 17 nên \(\frac{{15}}{{21}} < \frac{{17}}{{21}}\).

Do đó \(\frac{{15}}{{21}} < \frac{{17}}{{21}} < 2\frac{1}{{12}} < 3\frac{2}{{11}}\).

Vậy các số sau theo thứ tự tăng dần là \(\frac{{15}}{{21}};\,\,\frac{{17}}{{21}};\,\,2\frac{1}{{12}};\,\,3\frac{2}{{11}}\).

Nhóm các số dương: 0,534; 123; 0,543.

Ta có: 0,534 < 0,543 < 123.

∙ Nhóm các số âm: −5,12; −23.

Ta có: −23 < −5,12.

Do đó −23 < −5,12 < 0 < 0,534 < 0,543 < 123.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: −23; −5,12; 0; 0,534; 0,543; 123.

∙ Nhóm các phân số dương: \(\frac{2}{{15}};\,\,\frac{2}{3};\,\,\frac{5}{6}\).

Ta có: \(\frac{2}{{15}} = \frac{4}{{30}};\,\,\frac{2}{3} = \frac{{20}}{{30}};\,\,\frac{5}{6} = \frac{{25}}{{30}}\).

Vì 25 > 20 > 4 nên \(\frac{{25}}{{30}} > \frac{{20}}{{30}} > \frac{4}{{30}}\).

Suy ra \(\frac{5}{6} > \frac{2}{3} > \frac{2}{{15}}\).

∙ Nhóm các phân số âm: \( - \frac{7}{8};\,\,\frac{{ - 7}}{9}\).

Ta có: \( - \frac{7}{8} = \frac{{ - 63}}{{72}};\,\,\frac{{ - 7}}{9} = \frac{{ - 56}}{{72}}\).

Vì −56 > −63 nên \(\frac{{ - 56}}{{72}} > \frac{{ - 63}}{{72}}\) hay \(\frac{{ - 7}}{9} > - \frac{7}{8}\).

Do đó \(\frac{5}{6} > \frac{2}{3} > \frac{2}{{15}} > \frac{{ - 7}}{9} > - \frac{7}{8}\).

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần: \(\frac{5}{6};\,\,\frac{2}{3};\,\,\frac{2}{{15}};\,\,\frac{{ - 7}}{9};\,\, - \frac{7}{8}\).

Nhóm các số dương: \[\frac{{19}}{{22}};\,\,0,5;\,\,2\frac{1}{6}\].

Ta thấy: \[2\frac{1}{6} > 1\] (vì hỗn số \[2\frac{1}{6}\] có phần nguyên 2 > 1).

\[\frac{{19}}{{22}} < 1\] (phân số có tử số bé hơn mẫu số); 0,5 < 1.

Ta có: \(0,5 = \frac{1}{2} = \frac{{11}}{{22}}\).

Vì 19 < 11 nên \(\frac{{19}}{{22}} > \frac{{11}}{{22}}\) hay \(\frac{{19}}{{22}} > 0,5\).

Do đó \(2\frac{1}{6} > \frac{{19}}{{22}} > 0,5\). (1)

∙ Nhóm các số âm: \[ - \frac{1}{4};\,\, - 0,05\].

Ta có: \[ - \frac{1}{4} = - 0,25\].

Vì −0,05 > −0,25 nên \[ - 0,05 > - \frac{1}{4}\].     (2)     

Từ (1) và (2) suy ra: \[2\frac{1}{6} > \frac{{19}}{{22}} > 0,5 > - 0,05 > - \frac{1}{4}\].

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần: \[2\frac{1}{6};\,\,\frac{{19}}{{22}};\,\,0,5;\,\, - 0,05;\,\, - \frac{1}{4}\].

Lời giải:

Ta có: 2a – 4 = 2(a – 2).

Với y là số nguyên thì (2a – 4) ⋮ 3 hay 2(a – 2) ⋮ 3.

Vì ƯCLN(2, 3) = 1 nên (a – 2) ⋮ 3 hay a – 2 = 3k (k Î ℤ).

Suy ra a = 3k + 2.

Vậy a là số chia 3 dư 2.