Hướng dẫn giải

(x – 2)⁴ = [x + (– 2)⁴]

= \(C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.( - 2) + C_4^2.{x^2}.{( - 2)^2} + C_4^3.x.{( - 2)^3} + C_4^4.{( - 2)^4}\)

= 1.x⁴ + 4.x³.(–2) + 6.x².4 + 4.x.(–8) + 1.16

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Hướng dẫn giải

\({(x + 2)^5} = C_5^0.{x^5} + C_5^1.{x^4}.2 + C_5^2.{x^3}{.2^2} + C_5^3.{x^2}{.2^3} + C_5^4.x{.2^4} + C_5^5{.2^5}\)

= 1.x⁵ + 5.x^4­.2 + 10.x³.4 + 10.x².8 + 5.x.16 + 1.32

= x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32.

Hướng dẫn giải

= \(C_4^0.{(2x)^4} + C_4^1.{(2x)^3}.3y + C_4^2.{(2x)^2}.{(3y)^2} + C_4^3.2x.{(3y)^3} + C_4^4.{(3y)^4}\)

= 1.16x⁴ + 4.8x³.3y + 6.4x².9y² + 4.2x.27y³  + 1.81y⁴

= 16x⁴ + 96x³y + 216x²y^2­ + 216xy³ + 81y⁴.

Hướng dẫn giải

(2x – y)⁵ = [2x + (– y)⁵]

\( = C_5^0.{(2x)^5} + C_5^1.{(2x)^4}.( - y) + C_5^2.{(2x)^3}.{( - y)^2} + C_5^3.{(2x)^2}.{( - y)^3} + C_5^4.2x.{( - y)^4} + C_5^5.{( - y)^5}\)

= 1.32x⁵ + 5.16x^4­.(–y) + 10.8x³.y² + 10.4x².(–y)³ + 5.2x.y⁴ + 1.(–y)⁵

= 32x⁵ – 80x⁴y + 80x³y² – 40x²y³ + 10xy⁴ – y⁵.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ với a = 5x, b = –2, ta có:

(5x – 2)⁵

= \(C_5^0.{(5x)^5} + C_5^1.{(5x)^4}.( - 2) + C_5^2.{(5x)^3}.{( - 2)^2} + C_5^3.{(5x)^2}.{( - 2)^3} + C_5^4.5x.{( - 2)^4} + C_5^5.{( - 2)^5}\)

= 1 . 3 125x⁵ + 5 . 625x^4­.(–2) + 10 . 125x³.4 + 10 . 25x².(–8) + 5 . 5x.16 + 1.(–32)

= 3 125x⁵ – 6 250x⁴ + 5 000x³ – 2 000x² + 400x – 32

= – 32 + 400x – 2 000x² + 5 000x³ – 6 250x⁴ + 3 125x⁵

Vậy, số hạng thứ hai trong khai triển theo số mũ tăng dần của x là 400x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

1,03⁴ = (1 + 0,03)⁴  = 1⁴ + 4.1³.0,03 + 6.1^2­­.(0,03)² + …

= 1 + 0,12 + 0,0054 + … ≈ 1,1254

Mặt khác, ta tính được giá trị đúng, chẳng hạn bằng máy tính,

1,03⁴ = 1,12550881.

Như vậy, sai số tuyệt đối của của giá trị gần đúng nhận được so với giá trị đúng là:

|1,1254 – 1,12550881| = 0,00010881.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^4}\)

\( = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\frac{2}{x} + C_4^2.{x^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)

\( = {x^4} + 4{x^3}.\frac{2}{x} + 6{x^2}.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4x.{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}\)

\( = {x^4} + 8{x^2} + 24 + \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{16}}{{{x^4}}}\)

Vậy, hạng tử không chứa x là 24.

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và \(b = \frac{1}{z}\).

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^4} = C_4^0.{({z^2})^4} + C_4^1.{({z^2})^3}.1 + C_4^2.{({z^2})^2}{.1^2} + C_4^3.{z^2}{.1^3} + C_4^4{.1^4}\)

= z⁸ + 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^3} = C_3^0.{({z^2})^3} + C_3^1.{({z^2})^2}.1 + C_3^2.{z^2}{.1^2} + C_3^3{.1^3}\)

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

\({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4} = {\left[ {\left( {{z^2} + 1} \right) + \frac{1}{z}} \right]^4}\)

\( = C_4^0.{\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + C_4^1{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + C_4^2{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + C_4^3\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + C_4^4\frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = {\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + 4{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + 6{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = \left( {{z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1} \right) + 4\left( {{z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1} \right)\frac{1}{z}\)

\( + 6\left( {{z^4} + 2{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 6{z^4} + 12{z^3} + 10{z^2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\).