50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (Đề số 13)

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = - 3 \Rightarrow y = - 3$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty \Rightarrow x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị đã cho có ba đường tiệm cận

Câu 2:

23/07/2024

Cho mặt cầu có diện tích là $72 π (c m^{2})$ . Bán kính của khối cầu là:

$A . R = \sqrt{6} (c m)$

B. R=6(cm)

C. R=3(cm)

$D . R = 3 \sqrt{2} (c m)$

Xem đáp án

Đáp án A

Có $S = 4 π R^{2} = 72 π \Rightarrow R = \sqrt{\frac{72 π}{4 π}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} (c m)$

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho điểm H(-1;3;2), hình chiếu của trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là:

A. (-1;0;0)

B. (0;3;2)

C. (-1;0;2)

D. (-1;-3;-2)

Xem đáp án

Đáp án B

Hình chiếu của H trên mặt phẳng Oyz là H'(0;3;2).

Câu 4:

Hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên:

Hỏi hàm y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

$A . (- \frac{3}{2}; - 1)$

$B . (\frac{1}{2}; + \infty)$

$C . (0; \frac{1}{2})$

$D . (- \frac{1}{2}; 0)$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \frac{3}{2}; - 1)$ .

Câu 5:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $(0; + \infty)$ ?

$A . y = \log_{\frac{1}{e}} x$

$B . y = \log_{\sqrt{2}} x$

$C . y = \log_{\frac{2}{3}} x$

$D . y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \log_{a} x$ đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi a>1.

Vì $\sqrt{2} > 1$ nên hàm số $y = \log_{\sqrt{2}} x$ đồng biến trên tập xác định $(0; + \infty)$ .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 6 z - 2 = 0$ . Mặt cầu (S) có bán kính R là:

$A . R = 2 \sqrt{3}$

$B . R = \sqrt{12}$

C. R=4

D. R=5

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ (với $a = - 2; b = 1; c = 3; d = - 2$ ) có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 4$ .

Câu 7:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $3^{x} = 2$ :

$A . S = \{\frac{2}{3}\}$

$B . S = \{\log_{3} 2\}$

$C . S = \emptyset$

$D . S = \{\log_{2} 3\}$

Xem đáp án

Đáp án B

$3^{x} = 2 \Leftrightarrow x = \log_{3} 2$ .

Vậy tập nghiệm S của phương trình đã cho là $S = \{\log_{3} 2\}$

Câu 8:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng:

$A . 4 π$

$B . 16 π$

$C . 2 π$

$D . 8 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(\sqrt{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \frac{x^{2}}{2} |_{0}^{4} = 8 π$ .

Câu 9:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và q=2. Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân

$A . S_{8} = 510$

$B . S_{8} = - 510$

$C . S_{8} = 1025$

$D . S_{8} = - 1025$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S_{8} = u_{1} . \frac{1 - q^{8}}{1 - q} = - 2. \frac{1 - 2^{8}}{1 - 2} = - 510$

Câu 10:

Cho $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{- 1}^{1} g (x) d x = - 3$ , khi đó $\int_{- 1}^{1} [f (x) + \frac{1}{3} g (x)]$ bằng:

A. -3

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\int_{- 1}^{1} [f (x) + \frac{1}{3} g (x)] d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \frac{1}{3} \int_{- 1}^{1} g (x) d x = 2 + \frac{1}{3} . (- 3) = 1$

Câu 11:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ . Giá trị của $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng

A. 4

B. 2

C. 1

$D . \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $z^{2} - 2 z + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 + \sqrt{3} i \\ z = 1 - \sqrt{3} i \end{array} \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 2 \Rightarrow |z_{1}| + |z_{2}| = 4$

Câu 12:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy $\sqrt{3} a^{2}$ và chiều cao 2a là:

$A . V = 2 \sqrt{3} a^{3}$

$B . V = \sqrt{3} a^{3}$

$C . V = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}$

$D . V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \sqrt{3} a^{2} .2 a = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}$ .

Câu 13:

23/07/2024

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $A (2; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 1)$ là:

$A . x - y + 2 z + 2 = 0$

$B . 2 x - 2 y + z - 2 = 0$

$C . x - y + 2 z - 2 = 0$

$D . 2 x - 2 y + z + 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình mặt phẳng (P) viết theo đoạn chắn: $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - y + 2 z - 2 = 0$ .

Câu 14:

Số tập hợp con có 5 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là:

$A . C_{10}^{5}$

$B . \frac{10!}{5!}$

$C . A_{10}^{5}$

D. 50

Xem đáp án

Đáp án A

Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 10 phần tử $C_{10}^{5}$ .

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)-4=0 là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $2 f (x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=2.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y=f(x) cắt đường thẳng y=2 tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a$ , tam giác vuông cân tại B. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng (SAB) bằng:

$A . 90^{0}$

$B . 60^{0}$

$C . 45^{0}$

$D . 30^{0}$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ .

Có BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng (SAB).

Suy ra $(C M, (S A B)) = \hat{C M B}$ .

Ta có: $\begin{array}{l} \tan \hat{C M B} = \frac{B C}{M B} = \frac{2 A B}{S B} = \frac{2 A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{2.2 a}{\sqrt{{(2 a \sqrt{3})}^{2} + {(2 a)}^{2}}} = 1 \\ \Rightarrow \hat{C M B} = 45^{0} \end{array}$

Vậy $(C M, (S A B)) = 45^{0}$ .

Câu 17:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0, 5} (x - 3) + 1 \geq 0$ là:

$A . (3; \frac{7}{2}]$

$B . (3; + \infty)$

C. (3;5]

$D . (- \infty; 5)$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện x>3.

$\log_{0, 5} (x - 3) + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{0, 5} (x - 3) \geq - 1 \Leftrightarrow x - 3 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 5$ .

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (3; 5]$ .

Câu 18:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x + 6$ .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số là: $k = y' (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} + 6 = 3 (x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1) + 3 = 3 {(x_{0} - 1)}^{2} + 3 \geq 3$ .

Vậy hệ số góc nhỏ nhất là 3 đạt được tại M(3;19).

Câu 19:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)=sin2x và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

$A . F (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

$B . F (\frac{π}{6}) = 0$

$C . F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

$D . F (\frac{π}{6}) = \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $F (\frac{π}{4}) - F (\frac{π}{6}) = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x |_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{4} \Rightarrow F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

Câu 20:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = g (x) = f (2 - x)$ đồng biến trên khoảng:

A. (1;3)

$B . (2; + \infty)$

C. (-2;1)

$D . (- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $g' (x) = (2 - x)' . f' (2 - x) = - f' (2 - x)$ .

Hàm số đồng biến khi $g' (x) > 0 \Leftrightarrow f' (2 - x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \end{array}$ .

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z + m = 0$ . Tìm giá trị không âm của tham số để mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau.

A. m=2

B. m=1

C. m=5

D. m=0

Xem đáp án

Đáp án A

Xét mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \Rightarrow I (2; 1; 1)$ và bán kính R=1.

Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) nên $d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{3} = 1 \Leftrightarrow |m + 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 4 \end{array}$ .

Câu 22:

Cho hai số thực a,b>0 thỏa mãn $a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

$A . \log (a + 3 b) = \log a + \log b$

$B . \log (\frac{a + 3 b}{4}) = \frac{\log a + \log b}{2}$

C. log(a+1)+logb=1

$D . 2 \log (a + 3 b) = \log a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $a, b > 0; a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b \Leftrightarrow {(a + 3 b)}^{2} = 16 a b \Leftrightarrow {(\frac{a + 3 b}{4})}^{2} = a b$ .

Lấy logarit cơ số 10 cả hai vế của đẳng thức trên, ta được: $\log {(\frac{a + 3 b}{4})}^{2} = \log (a b) \Leftrightarrow 2 \log (\frac{a + 3 b}{4}) = \log a + \log b \Leftrightarrow \log (\frac{a + 3 b}{4}) = \frac{\log a + \log b}{2}$ .

Câu 23:

Biết hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2 x - 1$ và $g (x) = - x^{3} + + b x^{2} - 3 x + 1$ có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|a| + |b|$ bằng:

$A . \sqrt{30}$

$B . 2 \sqrt{6}$

$C . 3 + \sqrt{6}$

$D . 3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết, $f' (x) = 0, g' (x) = 0$ có chung ít nhất một nghiệm, gọi nghiệm chung đó là $x_{0}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 = 0 \\ - 3 x_{0}^{2} + 2 b x_{0} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{3 x_{0}^{2} + 2}{2 x_{0}} \\ b = \frac{3 x_{0}^{2} + 3}{2 x_{0}} \end{cases}$

Nên $P = |a| + |b| = \frac{6 x_{0}^{2} + 5}{2 |x_{0}|} \geq \frac{2 \sqrt{6 x_{0}^{2} .5}}{2 |x_{0}|} = \sqrt{30}$ .

Câu 24:

Cho đồ thị của ba hàm số $y = a^{x}; y = b^{x}; y = c^{x}$ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. b>a>c>0

B. c>b>a>0

C. b>c>a>0

D. c>a>b>0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: a,b,c>0. Từ đồ thị suy ra $0 < a < 1; b > 1; c > 1 (1)$ .

Mặt khác $\forall x > 0$ , ta có: $b^{x} > c^{x} \Rightarrow b > c (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra b>c>a>0.

Câu 25:

Cho số phức z thỏa mãn $(3 - 2 i) \bar{z} - 4 (1 - i) = (2 + i) z$ . Mô đun của z là:

$A . \sqrt{10}$

$B . \frac{\sqrt{3}}{4}$

$C . \sqrt{5}$

$D . \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $z = x + y i, x, y \in ℝ$ .

Ta có: $\begin{array}{l} (3 - 2 i) \bar{z} - 4 (1 - i) = (2 + i) z \Leftrightarrow (3 - 2 i) (2 - i) \bar{z} - 4 (1 - i) (2 - i) = 5 z \\ \Leftrightarrow (4 - 7 i) (x - y i) - 5 (x + y i) = 4 - 12 i \Leftrightarrow (- x - 7 y) - (7 x + 9 y) i = 4 - 12 i \end{array}$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} x + 7 y = - 4 \\ 7 x + 9 y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Vậy z=3-i nên $|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Câu 26:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

$A . π$

B. -1

C. 1

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\begin{array}{l} y' = \frac{\sin x}{\cos^{2} x}; \\ \{\begin{cases} y' = 0 \\ x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow x = π \end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy: $\max_{(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})} y = - 1$

Câu 27:

Gọi $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 10 = 0$ . Tính $A = |z_{1}^{2}| + |z_{2}^{2}|$

A. A=20

B. A=10

C. A=30

D. A=50

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $z^{2} - 2 z + 10 = 0 (1)$ có $Δ' = 1 - 10 = - 9 < 0$ nên (1) có hai nghiệm phức là $z_{1} = 1 + 3 i$ và $z_{2} = 1 - 3 i$ .

Ta có: $A = |{(1 - 3 i)}^{2}| + |{(1 + 3 i)}^{2}| = |- 8 - 6 i| + |- 8 + 6 i| = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 6^{2}} + \sqrt{{(- 8)}^{2} + 6^{2}} = 20$ .

Vậy A=20

Câu 28:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân, biết AB=AC=a. Góc tạo bởi mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Tính thể tích khối trụ ABC.A'B'C' theo a

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$B . \frac{a^{3}}{2}$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

$D . \frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A M ⊥ B C, A' M ⊥ B C \\ \Rightarrow \hat{((A' B C), (A B C))} = \hat{A' M A} = 45^{0} \end{array}$

Tam giác ABC vuông cân tại A có $A M = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Tam giác A'AM vuông cân tại A có $A A' = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = A' A . S_{A B C} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Câu 29:

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R, trục OO' bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính là OO'. Gọi $S_{1}$ là diện tích mặt cầu (S), $S_{2}$ là diện tích toàn phần của hình trụ (T). Khi đó $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng?

$A . \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$

$B . \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$

$C . \frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$

$D . \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích mặt cầu: $S_{1} = 4 π R^{2}$ .

Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{2} = 4 π R^{2} + 2 π R^{2} = 6 π R^{2}$ .

Suy ra: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (Oxy) với mặt phẳng $(α) : x + y = 1$ . Tính khoảng cách từ điểm A(0;0;1) đến đường thẳng d.

$A . \frac{\sqrt{6}}{2}$

$B . \sqrt{3}$

$C . \sqrt{6}$

$D . \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xác định được: $\begin{array}{l} M (1; 0; 0) \in d, \vec{u} = (- 1; 1; 0), \vec{M A} = (- 1; 0; 1) \\ \Rightarrow d (A; d) = \frac{|[\vec{M A}, \vec{u_{d}}]|}{|\vec{u_{d}}|} = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}$

Câu 31:

Phương trình $\cos^{3} x + \cos x + 2 \cos^{2} x = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $[0; 2 π]$ ?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} \cos^{3} x + \cos x + 2 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \cos x (\cos^{2} x + 2 \cos x + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = π + k 2 π \end{array} \end{array}$

Theo yêu cầu của bài toán ta có: $[\begin{array}{l} 0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2 π \\ 0 \leq π + k 2 π \leq 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2} \end{array}$

Do $k \in ℤ$ nên k=0 hoặc k=1. Khi đó ta có các nghiệm là $x = \frac{π}{2}; x = π$ hoặc $x = \frac{3 π}{2}$ .

Câu 32:

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại $B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B'C

$A . \frac{a \sqrt{7}}{7}$

$B . \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

$D . a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

+) Gọi E là trung điểm của BB'.

Khi đó: $E M / / B' C \Rightarrow B' C / / (A M E)$ .

Ta có: $d (B' C, A M) = d (B' C, (A M E)) = d (C, (A M E)) = d (B, (A M E))$ .

+) Xét khối chóp B.AME có các cạnh BE,AB,BM đôi một vuông góc nên $\frac{1}{d^{2} (B, (A M E))} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{M B^{2}} + \frac{1}{E B^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$ .

$\Rightarrow d (B, (A M E)) = \frac{a \sqrt{7}}{7}$ .

Vậy $d (B' C, A M) = \frac{a \sqrt{7}}{7}$ .

Câu 33:

Cho hàm số $y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$ có đồ thị (H). Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ với $x_{0} < 0$ là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Tính giá trị biểu thức $S = {(x_{0} + y_{0})}^{2}$ ?

A. S=0

B. S=9

C. S=1

D. S=4

Xem đáp án

Đáp án B

Vì điểm M thuộc đồ thị (H) nên $y_{0} = \frac{4 x_{0} - 5}{x_{0} + 1}$ .

Từ đề bài ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=-1 và tiệm cận ngang là y=4.

Khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường tiệm cận đứng bằng $|x_{0} + 1|$ .

Khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường tiệm cận ngang bằng $|y_{0} - 4| = |\frac{4 x_{0} - 5}{x_{0} + 1} - 4| = \frac{9}{|x_{0} + 1|}$ .

Từ đó ta có $\begin{array}{l} |x_{0} + 1| + \frac{9}{|x_{0} + 1|} = 6 \Leftrightarrow {(|x_{0} + 1|)}^{2} - 6 |x_{0} + 1| + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow |x_{0} + 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 2 (L) \\ x_{0} = - 4 (T M) \end{array} \end{array}$

Do đó $M (- 4; 7)$ . Suy ra S=9.

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình $4^{x} - {2.2}^{x} + 2 - m \leq 0$ có nghiệm $x \in [0; 2]$ ( m là tham số).

A. m<10

$B . m \geq 1$

$C . 1 \leq m \leq 10$

$D . m \geq 10$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 2^{x}$ . Vì $x \in [0; 2]$ nên ta có $t \in [1; 4]$ .

Bất phương trình trở thành $t^{2} - 2 t + 2 - m \leq 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 2 \leq m$ .

Xét hàm số $\begin{array}{l} f (t) = t^{2} - 2 t + 2 - m, t \in [1; 4] \\ f' (t) = 2 t - 2 \\ f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in [1; 4] \\ f (1) = 1; f (4) = 10 \end{array}$

Bất phương trình $4^{x} - {2.2}^{x} + 2 - m \leq 0$ có nghiệm $x \in [0; 2] \Leftrightarrow$ bất phương trình $t^{2} - 2 t + 2 \leq m$ có nghiệm $t \in [1; 4] \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 10$ .

Câu 35:

Cho hàm số f(x) xác định trên $[1; + \infty)$ , biết $x . f' (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0, f (\sqrt[4]{e}) = 2$ . Giá trị f(e) bằng:

$A . \frac{5}{3}$

$B . \frac{8}{3}$

$C . \frac{10}{3}$

$D . \frac{19}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số f(x) xác định trên $[1; + \infty)$ nên $x . f' (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} (1)$ .

Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn $[\sqrt[4]{e}; e]$ , ta được:

$\begin{array}{l} \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f' (x) d x = \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} d x \Leftrightarrow \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f' (x) d x = 2 \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \sqrt{\ln x} d (\ln x) \\ \Leftrightarrow f (e) - f (\sqrt[4]{e}) = \frac{4}{3} \sqrt{\ln^{3} x} |_{\sqrt[4]{e}}^{e} \Leftrightarrow f (e) = \frac{7}{6} + 2 = \frac{19}{6} \end{array}$

Câu 36:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với z là số phức thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó

$A . 4 π$

$B . 2 π$

$C . 3 π$

$D . π$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có đặt w=x+yi thì: $\begin{array}{l} w = (1 + i) z + 1 \Leftrightarrow w = (1 + i) (z - 1) + i + 2 \Leftrightarrow w - i - 2 = (z - 1) + i (z - 1) \\ \Leftrightarrow |w - i - 2| = |(z - 1) + i (z - 1)| \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 {(z - 1)}^{2} \leq 2 \\ \Rightarrow R = \sqrt{2} \Rightarrow S = π R^{2} = 2 π \end{array}$

Câu 37:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 2\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là:

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = 0 \\ \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = \frac{- 1}{2} \end{array}$

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận nagng là: $y = 0; y = - \frac{1}{2}$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy $f (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1}, x_{1} < - 1 \\ x = x_{2}, - 1 < x_{2} < 1 \\ x = x_{3}, 1 < x_{3} < 2 \\ x = x_{4}, x_{4} > 2 \end{array}$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 6 đường tiệm cận

Câu 38:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27 c m^{3}$ . Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

$A . r = \sqrt[4]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

$B . r = \sqrt[6]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

$C . r = \sqrt[4]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

$D . r = \sqrt[6]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{3 V}{π r^{2}}$ .

$\Rightarrow$ Độ dài đường sinh là: $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 V}{π r^{2}})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{{(\frac{81}{π r^{2}})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{4}} + r^{2}}$ .

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{x q} = π r l = π r \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{4}} + r^{2}} = π \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{2}} + r^{4}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi $r = \sqrt[6]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$ .

Câu 39:

Parabol $y = \frac{x^{2}}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ thành hai phần S và S' như hình vẽ. Tỉ số $\frac{S}{S'}$ thuộc khoảng nào sau đây?

$A . (\frac{2}{5}; \frac{1}{2})$

$B . (\frac{1}{2}; \frac{3}{5})$

$C . (\frac{3}{5}; \frac{7}{10})$

$D . (\frac{7}{10}; \frac{4}{5})$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình đường tròn: $x^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^{2}}$ (nửa đường tròn phía trên ).

Hệ phương trình giao điểm của đường tròn và parabol $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 8 \\ y = \frac{x^{2}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} \end{array}$ .

Diện tích hình tròn $S_{t r} = 8 π$ .

Diện tích phần bôi đen $S = \int_{- 2}^{2} |\sqrt{8 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}| d x = 7, 6165...$

Tỉ lệ $\frac{S}{S'} = \frac{S}{S_{t r} - S} = 0, 43482...$

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB,CD thỏa mãn CD=2AB và diện tích bằng 27, đỉnh $A (- 1; - 1; 0)$ . Phương trình đường thẳng chứa cạnh $C D : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Tìm tọa độ điểm D biết $x_{B} > x_{A}$ ?

$A . D (- 2; - 5; 1)$

B. D(-3;-5;1)

C. D(2;-5;1)

D. D(3;-5;1)

Xem đáp án

Đáp án A

Đường thẳng CD qua M(2;-1;3) có vectơ chỉ phương $\vec{u} (2; 2; 1)$ .

Gọi $H (2 + 2 t; - 1 + 2 t; 3 + t)$ là hình chiếu của A lên CD, ta có: $\vec{A H} . \vec{u} = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H (0; - 3; 2), d (A; C D) = A H = 3$ .

Từ giả thiết ta có $A B + C D = 3 A B = \frac{2 S}{A H} = 18 \Rightarrow A B = 6, D H = 3, H C = 9$ .

Đặt $\vec{A B} = k \vec{u} \Rightarrow k > 0$ (do $x_{B} > x_{A}$ ) $\Rightarrow k = \frac{|\vec{A B}|}{|\vec{u}|} = 2 \Rightarrow \vec{A B} (4; 4; 2) \Rightarrow B (3; 3; 2)$ .

$\begin{array}{l} \vec{H C} = \frac{9}{6} \vec{A B} (6; 6; 3) \Rightarrow C (6; 3; 5) \\ \vec{H D} = - \frac{3}{6} \vec{A B} (- 2; - 2; - 1) \Rightarrow D (- 2; - 5; 1) \end{array}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ xác định trên $ℝ$ và thỏa mãn f(2)=1. Đồ thị hàm số f'(x) được cho bởi hình bên.

Tìm giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số f(x).

$A . y_{C T} = - 3$

$B . y_{C T} = 1$

$C . y_{C T} = - 1$

$D . y_{C T} = - 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì đồ thị hàm f'(x) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x=-1 và x=1 nên $f' (x) = k (x - 1) (x + 1)$ với k là số thực khác 0.

Vì đồ thị hàm f'(x) đi qua điểm (0;-3) nên ta có $- 3 = - k \Leftrightarrow k = 3$ . Suy ra $f' (x) = 3 x^{2} - 3$ .

Mà $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ nên ta có được $a = 1, b = 0, c = - 3$ .

Từ đó $f (x) = x^{3} - 3 x + d$ . Mặt khác f(2)=1 nên d=-1.

Suy ra $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $y_{C T} = - 3$ .

Câu 42:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ và $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \frac{\cos x}{{(1 + \sin x)}^{2}}, \forall x \in [0; \frac{π}{2}]$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$A . I = \frac{1}{4}$

B. I=1

$C . I = \frac{1}{2}$

D. I=2

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tích phân $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ . Đặt $u = \frac{π}{2} - x \Rightarrow d u = - d x$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 0$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} I_{1} = - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (\frac{π}{2} - x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x \Rightarrow 2 I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x \\ \Rightarrow 2 I_{1} = (\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) + f (\frac{π}{2} - x)) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{{(1 + \sin x)}^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d (1 + \sin x)}{{(1 + \sin x)}^{2}} \\ = - \frac{1}{1 + \sin x} |_{0}^{\frac{π}{2}} = - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{4} \end{array}$

Câu 43:

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ . Có đồ thị hàm số f'(x) như hình vẽ bên. Biết phương trình $2 f (x) > x^{2} + m$ đúng với mọi $x \in [- 2; 3]$ khi và chỉ khi:

$A . m > 2 f (3) - 9$

$B . m < 2 f (- 2) - 4$

$C . m > 2 f (0)$

$D . m < 2 f (1) - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2 f (x) > x^{2} + m \Leftrightarrow 2 f (x) - x^{2} > m$ , với mọi $x \in [- 2; 3]$ .

Đặt $g (x) = 2 f (x) - x^{2}$ xét trên đoạn $x \in [- 2; 3]$ .

$g' (x) = 2 [f' (x) - x]$ .

Vẽ đường thẳng y=x cùng với đồ thị hàm số y=f'(x) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x), y = x, x = - 2, x = 1$ .

Gọi H là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x), y = x, x = 1, x = 3$ .

Dựa vào đồ thị dễ thấy $S > H \Leftrightarrow S - H > 0$ .

Ta có: $\begin{array}{l} \int_{- 2}^{3} \frac{g' (x)}{2} d x = \frac{1}{2} [\int_{- 2}^{1} g' (x) d x + \int_{1}^{3} g' (x) d x] = \frac{1}{2} (S - H) > 0 \\ \Rightarrow \int_{- 2}^{3} \frac{g' (x)}{2} d x > 0 \Leftrightarrow \frac{g (x)}{2} |_{- 2}^{3} > 0 \Leftrightarrow \frac{g (3) - g (2)}{2} > 0 \Leftrightarrow g (3) - g (2) > 0 \\ \Rightarrow \min_{x \in [- 2; 3]} g (x) = g (- 2) \end{array}$

Để bất phương trình $g (x) = 2 f (x) - x^{2} > m$ đúng với mọi $x \in [- 2; 3]$ thì $\min_{x \in [- 2; 3]} g (x) > m \Rightarrow g (- 2) > m \Leftrightarrow m < 2 f (- 2) - 4$ .

Câu 44:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và hai điểm A,B thuộc (P) sao cho AB=2. Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB.

$A . \frac{4}{3}$

$B . \frac{3}{4}$

$C . \frac{2}{3}$

$D . \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $A (a; a^{2}), B (b; b^{2})$ với a<b. Ta có $A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$ .

$\begin{array}{l} A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a} \Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2} \Leftrightarrow y = (a + b) x - a b \\ S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x \end{array}$

Đặt t=x-a.

Suy ra $S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t = \int_{0}^{b - a} ((b - a) t - t^{2}) d t = \frac{(b - a) t^{2}}{2} |_{0}^{b - a} - \frac{t^{3}}{3} |_{0}^{b - a} = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

Ta có: ${(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(a + b)}^{2}} \leq 4$ .

Suy ra $b - a \leq 2 \Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{array}{l} \{\begin{cases} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ a = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1) \end{array}$ .

Câu 45:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $|z - 1| = \sqrt{34}; |z + 1 + m i| = |z + m + 2 i|$ (trong đó là số thực) và sao cho $|z_{1} - z_{2}|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị của $|z_{1} + z_{2}|$ bằng:

$A . \sqrt{2}$

B. 10

C. 2

$D . \sqrt{130}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_{1}, z_{2}$ .

Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta có $|z - 1| = \sqrt{34} \Rightarrow M, N$ thuộc đường tròn (C) có tâm I(1;0), bán kính $R = \sqrt{34}$ .

Mà $|z + 1 + m i| = |z + m + 2 i| \Leftrightarrow |(x + 1) + (y + m) i| = |(x + m) + (y + 2) i|$

$\Leftrightarrow (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0 \Rightarrow M, N$ thuộc đường thẳng $(d) : (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0$ .

Do đó M,N là giao điểm của d và đường tròn (C).

Ta có $|z_{1} - z_{2}| = M N$ nên $|z_{1} - z_{2}|$ lớn nhất $\Leftrightarrow M N$ lớn nhất.

$\Leftrightarrow M N$ là đường kính của đường tròn tâm I bán kính 1.

Khi đó $|z_{1} + z_{2}| = 2 |\vec{O I}| = 2. O I = 2$ .

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $α$ là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC), với $α < 45^{0}$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD.

$A .$ $4 a^{3}$

$B . \frac{8 a^{3}}{3}$

$C . \frac{4 a^{3}}{3}$

$D . \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi D' là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD'.

Khi đó DD'//SA mà $S A ⊥ (S B C)$ nên $D D' ⊥ (S B C)$ .

Ta có $\hat{(S D, (S B C))} = α = \hat{D S D'} = \hat{S D A}$ , do đó $S A = A D . \tan α = 2 a \tan α$ .

Đặt $\tan α = x, x \in (0; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của S lên AB, ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{4 a^{2}}{3} . S H$ .

Do đó $V_{S . A B C D}$ đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất.

Vì $△ S A B$ vuông tại $S$ nên $S H = \frac{S A . A B}{A B} = \frac{S A \sqrt{A B^{2} - S A^{2}}}{A B} = \frac{2 a x \sqrt{4 a^{2} - 4 a^{2} x^{2}}}{2 a} = 2 a x \sqrt{1 - x^{2}} \leq 2 a . \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{2} = a$ .

Từ đó $m a x S H = a$ khi $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $\max V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} a .4 a^{2} = \frac{4}{3} a^{3}$ .

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d_{m} : \frac{x - 4 m + 3}{2 m - 1} = \frac{y - 2 m - 3}{m + 1} = \frac{z - 8 m - 7}{4 m + 3}$ với $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ . Biết khi m thay đổi thì $d_{m}$ luôn nằm trong một mặt phẳng (P) cố định. Phương trình mặt phẳng là:

$A . x + 5 y + 2 z - 6 = 0$

$B . x + 10 y - 3 z - 6 = 0$

$C . x - 10 y + 3 z - 6 = 0$

$D . x + 10 y - 3 z + 6 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tham số của $d_{m} : \{\begin{cases} x = 4 m - 3 + (2 m - 1) t \\ y = 2 m - 3 + (m + 1) t \\ z = 8 m + 7 + (4 m + 3) t \end{cases}$

Cho t=-2 ta được $x = - 1, y = z = 1$ . Suy ra $d_{m}$ luôn qua điểm M(-1;1;1).

Gọi $\vec{n} = (a; b; c)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Do $d_{m} \subset (P) \Rightarrow$ phương trình $a (2 m - 1) + b (m + 1) + c (4 m + 3) = 0$ nghiệm đúng với mọi $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ .

$\Leftrightarrow m (2 a + b + 4 c) - a + b + 3 c = 0$ nghiệm đúng với mọi $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b + 4 c = 0 \\ - a + b + 3 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = - 3 a \\ b = 10 a \end{cases}$ .

Ta chọn a=1 suy ra $b = 10; c = - 3$ .

Phương trình qua (P) có dạng $x + 10 y - 3 z - 6 = 0$ .

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ . Nếu phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2 f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2}$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 1 nghiệm

B. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm

Xem đáp án

Đáp án D

Xét phương trình $2 f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow 2 f (x) . f'' (x) - {[f' (x)]}^{2} = 0$ .

Xét hàm số $g (x) = 2 f (x) . f'' (x) - {[f' (x)]}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ .

Ta có: $g' (x) = 2 f' (x) . f'' (x) - 2 f (x) f''' (x) - 2 f' (x) f'' (x) = - 2 f (x) . f''' (x)$ .

Mặt khác:

+ Có $f''' (x) = - 6$ .

+ Gọi $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình: f(x)=0.

Khi đó $g' (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 f (x) . f''' (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \\ x = x_{2} \\ x = x_{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt nên ta có $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ thì $f' (x) = (x - x_{2}) (x - x_{3}) + (x - x_{1}) (x - x_{3}) + (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Suy ra $- [f' {(x_{2})}^{2}] = - {[(x_{2} - x_{1}) (x_{2} - x_{3})]}^{2} < 0$ nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y=g(x) cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình g(x)=0 có tối đa hai nghiệm

Câu 49:

Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện $x, y \geq 0; z \geq - 1$ và $\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ tương ứng bằng:

$A . 4 \sqrt{2}$

B. 6

$C . 6 \sqrt{3}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l} \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y \Leftrightarrow 1 + \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = (4 x + y + 3) - (2 x + 2 y + 2) \\ \Leftrightarrow \log_{2} (2 x + 2 y + 2) + (2 x + 2 y + 2) = \log_{2} (4 x + y + 3) + (4 x + y + 3) \end{array}$

Xét hàm $f (t) = \log_{2} t + t$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln t} + 1 > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

$\Rightarrow f (2 x + 2 y + 2) = f (4 x + y + 3) \Leftrightarrow 2 x + 2 y + 2 = 4 x + y + 3 \Leftrightarrow y = 2 x + 1$ .

Thay vào biểu thức T ta được $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3} = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ .

Áp dụng bất đẳng thức: $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3} \geq \frac{{(x + z + 1 + 2 x + 3)}^{2}}{5 x + 1 + x + 2 z + 3} = \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{6 x + 2 z + 4} = \frac{1}{2} . \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{3 x + z + 2}$

Đặt $\begin{array}{l} t = 3 x + z + 2 \\ \Rightarrow T \geq \frac{1}{2} . \frac{{(t + 2)}^{2}}{t} = \frac{1}{2} (t + \frac{4}{t} + 4) \geq \frac{1}{2} . (2. \sqrt{t . \frac{4}{t}} + 4) = 4 \end{array}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} y = 2 x + 1 \\ t = 2 = 3 x + z + 2 \\ \frac{x + z + 1}{5 x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 2 z + 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = z = 0 \\ y = 1 \end{cases}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là $T_{\min} = 4$ .

Câu 50: