Đáp án đúng là: B

Cách cách chọn là: Xe máy – Máy bay; Xe máy – Xe khách; Xe khách – Xe khách; Xe khách – Máy bay.

Đáp án đúng là: B

Cách cách chọn là: Xe máy – Máy bay; Xe máy – Xe khách; Xe khách – Xe khách; Xe khách – Máy bay.

Đáp án đúng là: A

Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là giống nhau).

Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là \(C_8^2 = 28\) đoạn thẳng.

Đáp án đúng là: A

Khai triển với n = 4 là:

(a + b)⁴ = \(C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có:

(a + 2b)⁵

= \(C_5^0{a^5} + C_5^1{a^{5 - 1}}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^{5 - 2}}{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3{a^{5 - 3}}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^{5 - 4}}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\)

= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵.

Đáp án đúng là: B

Ta nói a là số gần đúng của số đúng \(\overline a \) với độ chính xác 0,004 nếu sai số tuyệt đối ∆_a ≤ 0,004.

Do vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Do 0,005 > 0,004 > 0,003. Mà sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép tính toán càng bé thì kết quả của phép đo đạc, tính toán đó càng chính xác. Vậy kết quả của bạn Nam là chính xác nhất.

Đáp án đúng là: A

Độ chính xác là d = 101 (hàng trăm) nên ta làm tròn số a = 22 648 024 đến hàng nghìn, kết quả là 22 648 000.

Đáp án đúng là: B

Mốt của bảng số liệu là: 3

Do nó có tần số xuất hiện nhiều nhất (15 lần).

Đáp án đúng là: A

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: \(\overline x = \frac{{9 + 8 + 5 + 7 + 10}}{5} = 7,8\).

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu thành một dãy không giảm ta có:

8,3; 8,3; 8,4; 8,4; 8,4; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,7; 8,7; 8,7; 8,7; 8,7; 8,8.

Ta có: n = 20

Số thứ tự thứ 10 là 8,5

Số thứ tự thứ 11 là 8,5

Tứ phân vị thứ hai Q₂ là: (8,5 + 8,5) : 2 = 8,5

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của dãy số liệu: 8,3; 8,3; 8,4; 8,4; 8,4; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,5. Tức là: Q₁ = (8,4 + 8,5) : 2 = 8,45

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của dãy số liệu: 8,5; 8,5; 8,5; 8,5; 8,7; 8,7; 8,7; 8,7; 8,7; 8,8. Tức là: Q₃ = (8,7 + 8,7) : 2 = 8,7.

Đáp án đúng là: B

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n = 31 số liệu thành một dãy không giảm ta có:

25; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 40; 40; 40; 40; 40; 40; 45; 45; 45; 45; 45.

Tứ phân vị thứ hai Q₂ là: 35

Do n là số lẻ nên Q₁ bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bao gồm Q₂) tức là trung vị của dãy số liệu: 25; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35. Vậy Q₁ = 30. Vậy, Q₁ < Q₂.

Đáp án đúng là: D

Xét bảng số liệu:

Ta có: x_min = 8,3 ; x_max = 8,8

Do đó, ta có khoảng biến thiên: R = x_max – x_min = 8,8 – 8,3 = 0,5 (m).

Đáp án đúng là: C

Ta có số trung bình cộng:

\(\begin{array}{l}\overline x = \frac{{9.3 + 11.6 + 14.4 + 16.4 + 17.6 + 18.7 + 20.3 + 21.4 + 23.2 + 25.2}}{{41}}\\ \approx 16,61\end{array}\)

Phương sai:

\({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_n}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}\)

\( = \frac{{3.{{\left( {9 - 16,61} \right)}^2} + 6.{{\left( {11 - 16,61} \right)}^2} + ... + 2.{{\left( {25 - 16,61} \right)}^2}}}{{41}}\)

\( = 18,04\)

Đáp án đúng là: C

Bảng số liệu trên có n = 10

Sắp xếp số liệu thành dãy không giảm ta có:

20; 20; 20; 30; 60; 100; 150; 270; 440; 980.

Tứ phân vị thứ hai bằng trung vị là: Q₂ = (60 + 100) : 2 = 80 (số thứ tự thứ 5 là 60, số thứ tự thứ 6 là 100)

Tứ phân vị thứ nhất bằng trung vị của dãy số liệu: 20; 20; 20; 30; 60. Có 5 số liệu, do đó, Q₁ = 20

Tứ phân vị thứ ba bằng trung vị của dãy số liệu 100; 150; 270; 440; 980. có 5 số liệu, do đó, Q₃ = 270

Khoảng tứ phân vị là: Δ_Q = Q₃ – Q₁ = 270 – 20 = 250 nghìn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi S là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt sấp, N là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Không gian mẫu là:

Ω = {SSN; SSS; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN} và n(Ω) = 8

Gọi biến cố A: “ít nhất một lần mặt ngửa”. Các kết quả thuận lợi của biến cố A là:

SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN.

Do đó n(A) = 7

Vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{7}{8}\).

Đáp án đúng là: B

Tổng số học sinh trong lớp: 15 + 17 = 32 (học sinh)

Biến cố A: “đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ”

Biến cố đối \(\overline A \): “đội kỉ luật không có bạn nữ nào” tức là chỉ có 3 bạn nam

Ta có:

n(Ω) = \(C_{32}^3 = 4960\)

n(\(\overline A \)) = \(C_{15}^3 = 455\)

Do đó, \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{455}}{{4960}} = \frac{{91}}{{992}}\)

Vậy P(A) = 1 – P(\(\overline A \)) = \(1 - \frac{{91}}{{992}} = \frac{{901}}{{992}}\).

Đáp án đúng là: B

Cho biến cố A có biến cố đối \(\overline A \). Ta có: P(\(\overline A \)) = 1 – P(A).

Và 0 ≤ P(A), P(\(\overline A \)) ≤ 1.

Đáp án đúng là: C

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có \(\vec u = \left( {2;7} \right)\).

Khi đó ta có \(\vec u = 2\vec i + 7\vec j\).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Nếu \(\overrightarrow {OA} = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\) thì ta gọi:

⦁ a₁ là hoành độ của \(\overrightarrow {OA} \);

⦁ a₂ là tung độ của \(\overrightarrow {OA} \).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\vec a = \vec b\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u + v = 1\\u - 2v = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = - 2\end{array} \right.\) thì \(\vec a = \vec b\).

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Gọi \(\vec x = \left( {{x_1};{x_2}} \right) = \left( {10;2} \right),\,\,\vec y = \left( {{y_1};{y_2}} \right) = \left( { - 5;8} \right)\).

Ta có \(\vec x.\vec y = {x_1}.{y_1} + {x_2}.{y_2} = 10.\left( { - 5} \right) + 2.8 = - 34\).

Vậy \(\vec x.\vec y = - 34\).

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Gọi I(x_I; y_I) là trung điểm của MN.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = \frac{{ - 1 - 3}}{2} = - 2\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0\end{array} \right.\)

Do đó tọa độ I(–2; 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Phương án A, B đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Nếu \[\vec a\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì \(k\vec a\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Nếu \[\vec n\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì \(k\vec n\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Vì có vô số số thực k ≠ 0 nên ta có vô số \(k\vec n\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\).

Do đó đường thẳng d có vô số vectơ pháp tuyến.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4} \right)\).

Suy ra đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {4;3} \right)\).

Đường thẳng d đi qua điểm B(1; 0), có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {4;3} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của d: 4(x – 1) + 3(y – 0) = 0.

⇔ 4x + 3y – 4 = 0.

Cách 2:

Phương trình của d là: \(\frac{{x + 2}}{{1 + 2}} = \frac{{y - 4}}{{0 - 4}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 4}}{{ - 4}}\)

⇔ –4(x + 2) = 3(y – 4)

⇔ 4x + 3y – 4 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Chọn A(0; 1) ∈ ∆.

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra đường thẳng ∆ nhận \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(0; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra phương trình tham số của ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)

Ta có M ∈ ∆. Suy ra M(t; 1 – t).

Ta có \(\overrightarrow {NM} = \left( {t + 1; - 2 - t} \right)\).

Suy ra \(NM = \left| {\overrightarrow {NM} } \right| = \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}} \).

Theo đề, ta có MN = 5.

⇔ (t + 1)² + (–2 – t)² = 25.

⇔ t² + 2t + 1 + 4 + 4t + t² = 25.

⇔ 2t² + 6t – 20 = 0.

⇔ t = 2 hoặc t = –5.

Với t = 2, ta có tọa độ M(2; –1).

Với t = –5, ta có tọa độ M(–5; 6).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁, d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec a_1}\), \({\vec a_2}\) và một điểm M ∈ d₁.

Khi đó d₁ trùng d₂ khi và chỉ khi \({\vec a_1}\) cùng phương với \({\vec a_2}\) và M ∈ d₂.

Vì vậy cần có cả hai điều kiện của hai phương án A và C.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a² + b² > c.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Lời giải

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆.

Tức là, \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 - 5.\left( { - 2} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {26} }}\).

Vậy bán kính của đường tròn đã cho bằng \(\frac{{14}}{{\sqrt {26} }}\).

Do đó ta chọn phương án C.

*Phương pháp giải:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (d) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (d) bằng bán kính R

Gọi M là điểm bất kì trên d, u→ là vecto chỉ phương của d. Khi đó, khoảng cách từ I đến d được tính theo công thức:

R=d(I;(d))

*Lý thuyết:

1. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Chú ý

+) Điểm M(x; y; z) nằm trong mặt cầu (S) nếu (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² < R².

+) Điểm M(x; y; z) nằm ngoài mặt cầu (S) nếu (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² > R².

Xem thêm

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(3; 1).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {4 - 3;4 - 1} \right) = \left( {1;3} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(4; 4) là: 1.(x – 4) + 3(y – 4) = 0.

⇔ x + 3y – 16 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

⦁ Phương trình chính tắc của (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a > b > 0).

Vì phương trình ở phương án B không có dạng trên nên ta loại phương án B.

⦁ Vì a > b nên a² > b².

Phương trình ở phương án A có a² = 4 < b² = 25.

Suy ra phương trình ở phương án A không phải là phương trình chính tắc của (E).

⦁ Phương trình ở phương án C có a² = 49 > b² = 36.

Suy ra phương trình ở phương án C là phương trình chính tắc của (E).

⦁ Phương trình ở phương án D có a² = b² = 49.

Suy ra phương trình ở phương án D không phải là phương trình chính tắc của (E).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có 2x + 6 = 0 ⇔ x + 3 = 0.

Ta có \(\frac{p}{2} = 3\).

Suy ra p = 2.3 = 6.

Vậy phương trình chính tắc của (P): y² = 2px hay y² = 12x.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)

Ta có c² = a² + b² = 16 + 9 = 25.

Suy ra c = 5.

Khi đó hai tiêu điểm của (H) là F₁(–5; 0), F₂(5; 0).

Ta có ∆: x + y = 3 ⇔ x + y – 3 = 0.

Ta có \(d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \) và \[d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \].

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ là: \(4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).

Vậy ta chọn phương án B.

Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (n ≥ 3)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)

Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.

Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)

\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)

\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).

Vậy số hạng chứa x⁵ trong khai triển là 80x⁵.

Điểm trung bình của cung thủ A là:

\(\overline {{x_A}} = \frac{{8 + 9 + 10 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 9 + 8}}{{10}} = 8\).

Phương sai của số điểm của cung thủ A là:

\(s_A^2 = \frac{{2{{\left( {6 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {7 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {8 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {9 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {10 - 8} \right)}^2}}}{{10}} = 2\)

\( \Rightarrow {s_A} = \sqrt 2 \).

Điểm trung bình của cung thủ B là:

\(\overline {{x_B}} = \frac{{10 + 6 + 8 + 7 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 8}}{{10}} = 8\).

Phương sai của số điểm của cung thủ B là:

\(s_B^2 = \frac{{{{\left( {6 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {7 - 8} \right)}^2} + 4{{\left( {8 - 8} \right)}^2} + 2{{\left( {9 - 8} \right)}^2} + {{\left( {10 - 8} \right)}^2}}}{{10}} = 1,2\)

\( \Rightarrow {s_B} = \sqrt {1,2} \).

Ta có: \(\sqrt {1,2} < \sqrt 2 \) nên cung thủ B có phong độ ổn định hơn.

Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm thì để đạt được 6 điểm cần trả lời đúng 30 câu.

Chọn 30 câu trong 50 câu có: \(C_{50}^{30}\) cách.

Mỗi câu có 4 đáp án nên xác suất đúng là \(\frac{1}{4}\) và xác suất sai là \(\frac{3}{4}\).

Do đó xác suất để học sinh đó được đúng 6 điểm là: \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{30}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{20}}.C_{50}^{30}\).

Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {73} \).

Suy ra bán kính đường tròn (C) là \(R = \sqrt {73} \).

Khi đó phương trình đường tròn (C) cần tìm là:

(x – 8)² + (y + 3)² = 73.