Đáp án đúng là: D

Với số thực dương \[a\] và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\) thì \(m < n\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a\].

Đáp án đúng là: D

Với \[a\] là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a\].

Đáp án đúng là: B

Vì \({\log _a}b = 4\) nên \(a,\,b\) là các số thực dương và \(a \ne 1\).

Khi đó, ta có \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\)\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\)

                                         \( = 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21\).

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy:

+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).

+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).

Vậy \(0 < b < 1 < a\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{\log _a}x = b\, \Leftrightarrow x = {a^b}\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\).

Ta có \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\).

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({4^x} - {2^x} - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2^x} - 3 = 0\) (1)

Đặt \({2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó (1) \( \Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.\).

Ta có \({2^x} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\].

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD.A'BC'D'\) là hình lập phương nên ta có:

+) \[BC{\rm{//}}A'D'\] (do cùng song song với \(B'C'\));

+) \[AB{\rm{//}}DC\] (do \(ABCD\) là hình vuông);

+) \[AA'{\rm{//}}BB'\] (các cạnh bên);

+) \[AB \bot AA'\] (cạnh đáy và cạnh bên).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên cạnh \(A'A \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\).

Nên \(A'A \bot B'D'\) \( \Rightarrow \left( {A'A,B'D'} \right) = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: B

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AD\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\).

Đáp án đúng là: A

+) Đáp án A đúng theo định nghĩa.

+) Đáp án B sai vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.

+) Đáp án C sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng 0° hoặc 90° (góc vuông).

+) Vì B, C sai nên D sai.

Đáp án đúng là: D

Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(SA \bot AB\).

Lại có \[ABC\] là tam giác vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\).

Vậy đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là \[AB\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\AI \bot AA'\,\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = IA\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(AK \bot SD\,\,\left( 1 \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \(AK \bot \left( {SCD} \right)\). Hay \(AK = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).

Đáp án đúng là: A

w Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).

w Do \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và đường thẳng \(AB\) hay là \[\widehat {SBA}\].

wTrong \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}Bh\).

Đáp án đúng là: D

Hình chóp cụt đều có các mặt bên là hình thang cân nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Thể tích của hình lập phương \(ABCD.A'BC'D'\) là \(V = {a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{6}\).

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \cdot {4^{2x}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 1}}} \right)^x} \ge 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{2x}} \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge {2^{1 + 4x}} \Leftrightarrow - x \ge 1 + 4x\) (do 2 > 1)

                                         \( \Leftrightarrow 5x \le - 1 \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{5}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - \frac{1}{5};\, + \infty } \right)\).

b) \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

ĐK: \(x > 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)\).

\(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)

So với \(\left( * \right)\): \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\).

a) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SA\).

Và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BD\).

Và \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AC \subset \left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mặt khác ta có: \(BD \subset \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\].

Theo giả thiết suy ra \[ABCD\] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \[AB\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = a\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Vì \[DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]

Nên \[d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\] (vì \[MB = \frac{1}{2}AB\]).

Kẻ \[AH \bot SC\].

Ta lại có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].

Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A\], ta có

\[A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {{\left( {3a} \right)}^2}}}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{4}\]\[ \Rightarrow AH = \frac{3}{2}a\].

Vậy \[d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a}}{4}\].