Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có ba đa thức là: \[{x^2} + {y^2};\] \[2\,\,025;\] \[\frac{x}{2} + xyz.\]

Các biểu thức \[\frac{3}{x} + y;\] \[\frac{x}{y} + \frac{1}{5}x\] không phải đa thức do có chứa biến ở dưới mẫu.

Biểu thức \[4 + x\sqrt {yz} \] không phải đa thức do có chứa biến ở dưới dấu căn bậc hai.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\left( {30{x^5}y - 18{x^4}y + 24{x^3}y} \right):\left( {6{x^3}y} \right)\]

\( = 30{x^5}y:\left( {6{x^3}y} \right) - 18{x^4}y:\left( {6{x^3}y} \right) + 24{x^3}y:\left( {6{x^3}y} \right)\)

\( = 5{x^2} - 3x + 4.\)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\left( { - x - 3} \right)^2} = {\left[ { - \left( {x + 3} \right)} \right]^2} = {\left( {x + 3} \right)^2}.\)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {50^\circ + 60^\circ } \right) = 250^\circ \)

Mà \(\widehat {A\,\,}:\widehat {B\,} = 3:2\) nên \(\frac{{\widehat {A\,\,}}}{3} = \frac{{\widehat {B\,}}}{2}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{{\widehat {A\,\,}}}{3} = \frac{{\widehat {B\,}}}{2} = \frac{{\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,}}}{{3 + 2}} = \frac{{250^\circ }}{5} = 50^\circ \)

Do đó \(\widehat {B\,} = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ .\)

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Do đó nhận định ở phương án B là sai. Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ADC\) với \(EI\,{\rm{//}}\,DC\) ta có:

⦁ \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AI}}{{IC}}\) (định lí Thalès). Do đó A là khẳng định đúng.

⦁ \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{EI}}{{DC}}\) (hệ quả của định lí Thalès). Do đó C là khẳng định đúng.

Xét \(\Delta ABC\) với \(IF\,{\rm{//}}\,AB\) ta có:

⦁ \(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{BF}}{{FC}}\) (định lí Thalès).

Mà \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AI}}{{IC}}\) nên \(\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{BF}}{{FC}}.\) Do đó A là khẳng định đúng.

⦁ \(\frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{IF}}{{AB}}\) (hệ quả định lí Thalès). Do đó D là khẳng định sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] (tính chất tia phân giác của một góc)

Do đó \[\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{9}{4}.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dữ liệu “Số thành viên trong một gia đình” là số liệu rời rạc vì đây số đếm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(A = 3y\left( {3y - x} \right) + \left( { - 2{x^2}{y^2} - 6x{y^3} + 4xy} \right):\frac{2}{3}xy\)

\[ = 3y \cdot 3y - 3y \cdot x - 2{x^2}{y^2}:\left( {\frac{2}{3}xy} \right) - 6x{y^3}:\left( {\frac{2}{3}xy} \right) + 4xy:\left( {\frac{2}{3}xy} \right)\]

\[ = 9{y^2} - 3xy - 3xy - 9{y^2} + 6\]

\[ = \left( {9{y^2} - 9{y^2}} \right) + \left( { - 3xy - 3xy} \right) + 6\]

\[ = - 6xy + 6 = 6\left( { - xy + 1} \right).\]

Vì \(6\left( { - xy + 1} \right)\, \vdots \,\,6\) với mọi giá trị nguyên của \(x,y\) nên \(A\) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên của biến \(x,y.\)

b) Thay \(x = \frac{1}{2};\) \(y = 4\) vào biểu thức \(A = - 6xy + 6\) đã thu gọn được ở câu a, ta được:

\(A = - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = - 12 + 6 = - 6.\)

Vậy \(A = - 6\) khi \(x = \frac{1}{2};\) \(y = 4.\)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác \[AICJ\] có hai đường chéo \(AC\) và \(IJ\) cắt nhau tại trung điểm của \[E\] của mỗi đường nên tứ giác \[AICJ\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \[\widehat {AIC} = 90^\circ \] (vì \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC)\)

Suy ra tứ giác \[AICJ\] là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\) và \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(I,\,\,F \in BC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,IF.\)

Suy ra tứ giác \(DEFI\) là hình thang.

Xét tam giác \(AIC\) vuông tại \(I,\) có \(IE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(IE = AE = EC = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) nên \(DF\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DF\,{\rm{//}}\,AC\) và \(DF = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(IE = DF\left( { = \frac{1}{2}AC} \right).\)

Hình thang \(DEFI\) có hai đường chéo \(IE = DF\) nên \(DEFI\) là hình thang cân.

c) Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BF = FC = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung bình).

Mà \(DE = \frac{1}{2}BC\) (chứng minh ở câu b)

Suy ra \(DE = BF.\)

Xét tứ giác \(BDEF\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BF\) (do \(DE\,{\rm{//}}\,BC)\) và \(DE = BF\) nên \(BDEF\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(EB\) và \(FD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(K\) là trung điểm của \(FD\). Do đó \(DK = KF.\)

Ta có \(DF\,{\rm{//}}\,AC\)

Mà \(K \in DF,\,\,E \in AC\) nên \(DK\,{\rm{//}}\,AE,\,\,KF\,{\rm{//}}\,EC\)

Do đó hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) là hình thang.

Từ \(K\) kẻ \(KM \bot AC.\) Khi đó \(KM\) là chiều cao của hình thang \(ADKE\) và \(KECF.\)

Ta có: \({S_{ADKE}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {DK + AE} \right);\)

\[{S_{KECF}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {KF + EC} \right).\]

Mà \(DK = KF\) (chứng minh trên) và \(AE = EC\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC)\)

Suy ra \({S_{ADKE}} = {S_{KECF}}\)

Vậy hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) có cùng diện tích.

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ trên là biểu đồ đoạn thẳng. Do số lượng máy bán được mỗi loại được nhân viên cửa hàng báo cáo hàng tháng qua văn bản nên để thu thập được dữ liệu thì quản lí cửa hàng chỉ cần thu thập từ văn bản báo cáo có sẵn nhận được từ nhân viên. Do đó phương pháp thu thập này là gián tiếp.

b) Số máy điều hòa mà cửa hàng X bán được trong 6 tháng đầu năm là:

\(30 + 40 + 60 + 75 + 92 + 89 = 386\) (chiếc).

Số máy sưởi mà cửa hàng X bán được trong 6 tháng đầu năm là:

\(12 + 10 + 9 + 9 + 5 + 3 = 48\) (chiếc).

Do đó, trong 6 tháng đầu năm, cửa hàng X bán được số máy điều hòa nhiều hơn số máy sưởi là: \(386 - 48 = 338\) (chiếc).

c) Vì tổng số máy sưởi bán được trong hai tháng 5 và 6 là: \(5 + 3 = 8\) (chiếc) \( < 9\) chiếc nên cửa hàng sẽ ngừng kinh doanh máy sưởi sau 6 tháng kinh doanh.

Hướng dẫn giải

Do \(x + y + z = 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \left( {y + z} \right)\\y = - \left( {x + z} \right)\\z = - \left( {x + y} \right)\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left( {y + z} \right)^2}\\{y^2} = {\left( {x + z} \right)^2}\\{z^2} = {\left( {x + y} \right)^2}\end{array} \right..\) 

Do \(a + b + c = 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b + c = - a\\c + a = - b\\a + b = - c\end{array} \right..\)

Do \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) nên \(\frac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0\) suy ra \(bxz + cxy + ayz = 0\).

Ta có: \(a{x^2} + b{y^2} + c{z^2} = a{\left( {y + z} \right)^2} + b{\left( {x + z} \right)^2} + c{\left( {x + y} \right)^2}\)

\( = a{y^2} + 2ayz + a{z^2} + b{x^2} + 2bxz + b{z^2} + c{x^2} + 2cxy + c{y^2}\)

\( = \left( {b + c} \right){x^2} + \left( {a + c} \right){y^2} + \left( {a + b} \right){z^2} + 2\left( {bxz + cxy + ayz} \right)\)

\( = \left( {b + c} \right){x^2} + \left( {a + c} \right){y^2} + \left( {a + b} \right){z^2}\)

\( = \left( { - a} \right){x^2} + \left( { - b} \right){y^2} + \left( { - c} \right){z^2}\)

Do đó \(2\left( {a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}} \right) = 0\) nên \(a{x^2} + b{y^2} + c{z^2} = 0.\)

Vậy \(a{x^2} + b{y^2} + c{z^2} = 0.\)