15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

Đề số 1

Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án

216 lượt thi
15 câu hỏi
20 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh A₁, A₂, A₃, …, A_n, tại mỗi đỉnh A_i có đặt một vật nặng m_i (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm A₁, A₂, A₃, …, A_n ứng với các khối lượng m₁, m₂, m₃, …, m_n (kg).

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.

Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điểm M (ảnh 1)

Học sinh đọc thông tin đề bài cung cấp.

Câu 2:

Cho vecto $\vec{A B} = \vec{a}$ . Hãy xác định điểm C sao cho $\vec{B C} = \vec{a} .$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\vec{A B}$ và $\vec{a} + \vec{a} .$

b) Vecto $\vec{a} + \vec{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto $\vec{a} .$

Xác định điểm C như sau:

Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a.

Cho vecto AB = vecto a. Hãy xác định điểm C sao cho vecto BC = vecto a (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{a} + \vec{a} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (quy tắc ba điểm)

Ta nhận thấy vecto $\vec{A C}$ cùng hướng với vecto $\vec{A B}$ và AC = AB + BC = 2AB.

Suy ra $\vec{a} + \vec{a}$ cùng hướng với vecto $\vec{A B}$ và $|\vec{a} + \vec{a}| = 2 A B$ .

b) Ta lại có: $\vec{A B} = \vec{a}$

Do đó $\vec{a} + \vec{a}$ cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và $|\vec{a} + \vec{a}| = 2 |\vec{a}|$ .

Câu 3:

1 \vec{a}

\vec{a}

có bằng nhau hay không?

Tích của vecto $\vec{a} \neq \vec{0}$ với số thực k = 1 > 0 là vecto kí hiệu là $1 \vec{a}$ , vecto này cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ dài bằng $1 |\vec{a}| = |\vec{a}|$ .

Do đó $1 \vec{a} = \vec{a} .$

Câu 4:

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0; 1; \sqrt{2}; - \sqrt{2} .$ Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\vec{O M}, \vec{O N}$ với vecto $\vec{a} = \vec{O A}$ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ .

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; căn bậc hai 2; trừ căn bậc hai 2 (ảnh 1)

+) Ta có:

Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $O M = \sqrt{2}$

Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1

Điểm N biểu diễn cho số $- \sqrt{2}$ nên $O N = |- \sqrt{2}| = \sqrt{2}$

Khi đó:

Vecto $\vec{O M}$ cùng hướng với vecto $\vec{O A}$ và $O M = \sqrt{2} O A$ .

Vecto $\vec{O N}$ ngược hướng với vecto $\vec{O A}$ và $O N = \sqrt{2} O A$ .

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ là $\vec{O M} = \sqrt{2} \vec{O A} .$

Câu 5:

- \vec{a}

(- 1) \vec{a}

có mối quan hệ gì?

Vecto $(- 1) \vec{a}$ có k = -1 < 0 nên $(- 1) \vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài $|- 1| |\vec{a}| = |\vec{a}| .$

Vecto $- \vec{a}$ là vecto đối của vecto $\vec{a}$ nên $- \vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài $|\vec{a}| .$

Do đó vecto $(- 1) \vec{a}$ cùng hướng với $- \vec{a}$ và có độ dài bằng nhau.

Vì vậy $(- 1) \vec{a} = - \vec{a} .$

Câu 6:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t \vec{A B}$ .

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B} .$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để $\vec{A M} = t \vec{A B} .$

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào (ảnh 1)

a) Nếu M thuộc đường thẳng d thì $\vec{A M}$ cùng phương $\vec{A B}$

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn $\vec{A M} = t \vec{A B} .$

Nếu tồn tại số t thỏa mãn $\vec{A M} = t \vec{A B}$ thì $\vec{A M}$ cùng phương $\vec{A B}$ hay $\vec{A M}$ trùng với $\vec{A B}$ .

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vì thế khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ không cùng phương. Do đó $\vec{A M} \neq \frac{A M}{A B} \vec{A B} .$

Vì vậy khẳng định b) sai.

c) Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào (ảnh 2)

Thì ta có: $\vec{M A} = t \vec{M B}$ với t < 0.

Do đó khẳng định c) sai.

Câu 7:

Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

a) Ta có: $|k (t \vec{u})| = |k| |t \vec{u}| = |k| |t| |\vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

và $|(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Suy ra $|k (t \vec{u})| = |(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Do đó hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vecto $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ khi kt ≥ 0

Vecto $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $t \vec{u}$ khi k ≥ 0

Vecto $t \vec{u}$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ khi t ≥ 0

Suy ra $k (t \vec{u})$ cùng hướng với vecto $\vec{u}$ khi kt ≥ 0.

Do đó nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vecto $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ khi kt < 0

Vecto $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $t \vec{u}$ khi k < 0

Vecto $t \vec{u}$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ khi t < 0

Suy ra $k (t \vec{u})$ ngược hướng với vecto $\vec{u}$ khi kt < 0.

Do đó nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Hai vecto $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài (theo ý a)

Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Suy ra hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng .

Nếu kt < 0 thì cả hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Suy ra hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vecto $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k (t \vec{u}) = (k t) \vec{u}$

Vậy khẳng định d) đúng.

Câu 8:

Hãy chỉ ra trên Hình 4.25 hai vecto $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ .

Hãy chỉ ra trên Hình 4.25 hai vecto 3( ecto u + vecto v) và 3 vecto u + 3 vecto v (ảnh 1)

Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{O E} + \vec{OF} = \vec{O M}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{O M} = \vec{O C}$

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3 \vec{u} + 3 \vec{v} = \vec{O A} + \vec{OB} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{u} + 3 \vec{v} (= \vec{O C})$

Vậy $3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{u} + 3 \vec{v} .$

Câu 9:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Do đó: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O G} + \vec{G A} + \vec{O G} + \vec{G B} + \vec{O G} + \vec{G C}$

$= 3 \vec{O G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{O G} + \vec{0} = 3 \vec{O G} .$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

Câu 10:

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto

\vec{u}, \vec{v}

\vec{a}, \vec{b}

, tức là tìm các số x, y, z, t để

\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto vecto u, vecto v theo hai vecto a, vecto b (ảnh 1)

Ta có hình vẽ sau:

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto vecto u, vecto v theo hai vecto a, vecto b (ảnh 2)

Xét hình bình hành OABC, có:

$\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O C} = 2 \vec{b}, \vec{O B} = \vec{u}$

Khi đó, ta có:

$\vec{u} = \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\vec{O N} = \vec{v}, \vec{O M} = 3 \vec{b}, \vec{O P} = - 2 \vec{a}$

Khi đó, ta có:

$\vec{v} = \vec{O N} = \vec{O M} + \vec{O P} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Vậy $\vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{v} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} .$

Câu 11:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

Ta có hình vẽ sau:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị (ảnh 1)

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị (ảnh 2)

Ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\vec{A E} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

Ta lại có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A D}}{2} = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A D}}{2} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} .$

Vậy $\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} .$

Câu 12:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A D} + \vec{D C} + \vec{B C} + \vec{C D} = (\vec{A D} + \vec{B C}) + (\vec{D C} + \vec{C D}) = \vec{A D} + \vec{B C}$

(Do $\vec{D C} + \vec{C D} = \vec{0}$ ) (1)

Ta có: $\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{N C} - \vec{N B} + \vec{N D} - \vec{N A} = (\vec{N C} + \vec{N D}) - (\vec{N B} + \vec{N A})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Câu 13:

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Khi đó: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} .$

$KI \to + \vec{IA} + 2 \vec{KI} + 2 \vec{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{KI} + 2 \vec{KI}) + \vec{IB} + (\vec{IA} + \vec{IB}) = \vec{0} \Leftrightarrow 3 \vec{KI} + \vec{IB} = \vec{0} \Leftrightarrow 3 \vec{KI} = \vec{BI} \Leftrightarrow \vec{KI} = \frac{1}{3} \vec{BI}$

Suy ra vecto $\vec{K I}$ cùng hướng với vecto $\vec{B I}$ và thỏa mãn $K I = \frac{1}{3} B I .$

Điểm K là điểm nằm giữa I và B và thỏa mãn $K I = \frac{1}{3} B I .$

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 2)

b) Lấy điểm O bất kì ta có:

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 3)

Ta có:

$V P = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} = \frac{1}{3} (\vec{O K} + \vec{K A}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} + \vec{K B}) = \frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{K B}$

$= (\frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{O K}) + (\frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{K B}) = \vec{O K} + \frac{1}{3} (\vec{K A} + 2 \vec{K B}) = \vec{O K} = V T$

$(D o \vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0})$

Câu 14:

Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: .

Xét $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$MG \to + \vec{GA} + \vec{MG} + \vec{GB} + 2 \vec{MG} + 2 \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow 4 \vec{MG} + (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow 4 \vec{MG} + \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{MG} = \frac{1}{4} \vec{CG}$

Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho $M G = \frac{1}{4} C G .$

Cho tam giác ABC. a) Hãy xác định điểm M để vecto MA + vecto MB + 2 vecto MC (ảnh 1)

b) Ta có: $V T = \vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{O M} + \vec{M A} + \vec{O M} + \vec{M B} + 2 \vec{O M} + 2 \vec{M C}$

$= 4 \vec{O M} + (\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}) = 4 \vec{O M} = V P .$

(Do $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ )

Câu 15:

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ ). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}},$ biết $\vec{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.

Chất điểm A chịu tác động của ba lực vecto F1, vecto F2, vecto F3 như Hình 4.30 (ảnh 1)

Chất điểm A chịu tác động của ba lực vecto F1, vecto F2, vecto F3 như Hình 4.30 (ảnh 2)

Ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = - \vec{F_{3}}$

Mà $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}$ (OBDA là hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{O D} = - \vec{F_{3}}$

=> Hai vecto $\vec{O D}$ và $\vec{F_{3}}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow |\vec{O D}| = |- \vec{F_{3}}|$ và $\hat{B O D} = 60^{0}$ .

Ta lại có: $\vec{B D} = \vec{F_{1}}$

Xét ΔOBD, có:

$O B = \frac{B D}{\tan 60^{0}} = \frac{20}{\sqrt{3}} (N) \Rightarrow |\vec{F_{2}}| = \frac{20}{\sqrt{3}} N . O D = \frac{B D}{\sin 60^{0}} = \frac{40 \sqrt{3}}{3} (N) \Rightarrow |\vec{F_{3}}| = \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Vậy độ lớn vecto $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}} N, \frac{40 \sqrt{3}}{3} N .$

Bắt đầu thi ngay

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương