30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P1) (Đề 2)

Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 2^x + 2^y = 4. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức

P = (2x² + y)(2y² + x) + 9xy.

A. P_max = $\frac{27}{2}$

B. P_max = 18

C. P_max = 27

D. P_max = 12

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $4 = 2^{x} + 2^{y} \geq 2 \sqrt{2^{x} . 2^{y}} = 2 \sqrt{2^{x + y}}$

$\Leftrightarrow 4 \geq 2^{x + y} \Leftrightarrow x + y \leq 2 .$

Suy ra $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = 1$

Khi đó

$P = 2 (x^{3} + y^{3}) + 4 x^{2} y^{2} + 10 x y = 2 (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 x y] + {(2 x y)}^{2} + 10 x y$

$\leq 4 (4 - 3 x y) + 4 x^{2} y^{2} + 10 x y$

$= 16 + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y (x y - 1) \leq 18$

Vậy P_max = 18 khi x = y = 1.

Câu 2:

Số nghiệm của phương trình

$(x^{2} - 4) (\log_{2} x + \log_{3} x + \log_{4} x + . . . \log_{19} x - \log_{20}^{2} x) = 0$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện x > 0. Phương trình đã cho tương đương với:

Câu 3:

23/07/2024

Cho hàm số y = log₃(2x+1), ta có

A. $y^{'} = \frac{1}{2 x + 1} .$

B. $y^{'} = \frac{1}{(2 x + 1) \ln 3} .$

C. $y^{'} = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3} .$

D. $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

$y' = \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{(2 x + 1) \ln 3} = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3}$

Câu 4:

13/07/2024

Cho $\log_{a} c = \frac{1}{3}$ ; $\log_{b} c = 5$ với a,b là các số thực lớn hơn 1. Khi đó log_abc là:

A. $\log_{a b} c = \frac{16}{3} .$

B. $\log_{a b} c = \frac{3}{5} .$

C. $\log_{a b} c = \frac{3}{16} .$

D. $\log_{a b} c = \frac{5}{16} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$\log_{a} c = \frac{1}{3} \Rightarrow \log_{c} a = 3, \log_{b} c = 5 \Rightarrow \log_{c} b = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \log_{a . b} c = \frac{1}{\log_{c} a . b} = \frac{1}{\log_{c} a + \log_{c} b} = \frac{1}{3 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{16}$ .

Câu 5:

13/07/2024

Hàm số y = ln(x² – 2x + m) có tập xác định là $ℝ$ khi:

A. m > 1.

B. $m \geq 1 .$

C. m > 0.

D. $m \geq 0 .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số xác định trên R

Câu 6:

20/07/2024

Số nghiệm của phương trình 9^x + 2(x – 2).3^x + 2x – 5 = 0 là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt 3^x = t > 0.

Phương trình <=> t² + 2(x – 2)t + 2x – 5 = 0

Có f(x) = 3^x là hàm số đồng biến trên $ℝ$

g(x) = –2x + 5 là hàm số nghịch biến trên $ℝ$

=> Phương trình (*) ó f(x) = g(x) có nhiều nhất l nghiệm

Có f(1) = g(1) => x = 1 là nghiệm của phương trình.

Câu 7:

22/07/2024

Số nghiệm nghiệm nguyên nhỏ hơn 2018 của bất phương trình: $(x + 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} x + (2 x + 5) \log_{\frac{1}{2}} x + 6 \geq 0$ là:

A. 2016.

B. 2017.

C. 2018.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

Bất phương trình

=> Bất phương trình $x \leq 2^{\frac{3}{x + 1}} \Leftrightarrow f (x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 < x \leq 2 (2) .$

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là

S = $(0; 2] \cup [4; + \infty)$ .

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Câu 8:

21/07/2024

Tập xác định D của hàm số $y = x^{\frac{1}{3}}$ là:

A. $D = [0; + \infty)$ .

B. $D = ℝ \ {0}$ .

C. $D = (0; + \infty)$ .

D. $D = ℝ$ .

Xem đáp án

Đáp án C.

Do hàm $y = x^{\frac{1}{3}}$ có $α = \frac{1}{3}$ là mũ không nguyên nên hàm số xác định khi x > 0

Câu 9:

15/07/2024

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 0; a \neq b$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

.

Câu 10:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{π}{4})}^{\frac{1}{x}} > {(\frac{π}{4})}^{\frac{3}{x} + 5}$ là:

Xem đáp án

Đáp án B.

$D o \frac{π}{4} < 1$

Câu 11:

21/07/2024

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích là 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với Ox, các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số y = log_ax, $y = \log_{\sqrt{a}} x$ , $y = \log_{\sqrt[3]{a}} x$ với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a.

Xem đáp án

Đáp án D.

Do AB//Ox => A, B nằm trên đường thẳng y = m $(m \neq 0)$

Do S_ABCD = 36

.

Câu 12:

Cho hàm số $y = 5^{- x^{2} + 6 x - 8}$ . Gọi m là giá trị thực để y’(2) = 6mln5. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. $0 < m \leq \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 13:

17/07/2024

Cho phương trình $4 \log_{9}^{2} x + m . \log_{\frac{1}{3}} x + \frac{1}{6} \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x + m - \frac{2}{9} = 0$ . Tìm tham số m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂thỏa mãn x₁.x₂ = 3.

A. 1 < m < 2

B. 3 < m < 4

C. $0 < m < \frac{3}{2}$

D. 2 < m < 3

Xem đáp án

Đáp án C.

Phương trình viết lại: $9 \log_{3}^{2} x - (9 m + 3) \log_{3} x + 9 m - 2 = 0$

Đặt t = log₃x => t₁ + t₂ = log₃x₁ + log₃x₂ = log₃ (x₁x₂ )= 1

$\Leftrightarrow \frac{9 m + 3}{9} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện có nghiệm.

Câu 14:

Cho log₉x = log₁₂y=log₁₆(x+y). Giá trị của tỉ số $\frac{x}{y}$ là:

Xem đáp án

Đáp án A.

Đặt log₉x = log₁₂y = log₁₆(x+y) = a => x = 9^a; y = 12^a; x + y = 16^a

=> 9^a + 12^a = 16^a

Câu 15:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x + 1) - \log_{\frac{1}{3}} (3 - x) = 0$ là:

Xem đáp án

Đáp án A.

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ $\Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$

Câu 16:

Cho bất phương trình ${(\sqrt{10} + 1)}^{\log_{3} x} - {(\sqrt{10} - 1)}^{\log_{3} x} \geq \frac{2 x}{3}$ . Đặt $t = {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{\log_{3} x}$ ta được bất phương trình nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án C.

Bất phương trình

$\Leftrightarrow {(\sqrt{10} + 1)}^{\log_{3} x} - {(\sqrt{10} - 1)}^{\log_{3} x} \geq \frac{2 x}{3}$

$\Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{\log_{3} x} - {(\frac{\sqrt{10} - 1}{3})}^{\log_{3} x} \geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow t - \frac{1}{t} \geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 1 \geq \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 t^{2} - 2 t - 3 \geq 0$ .

Câu 17:

Giải bất phương trình log₄(x² – x – 8) < 1 + log₃x được tập nghiệm là một khoảng trên trục số có độ dài là:

Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện $x > \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Đặt t = log₃x <=> x = 3^t

Ta có bất phương trình: 9^t < 4.4^t + $3^{t}$ + 8

$\Leftrightarrow 4 . {(\frac{4}{9})}^{t} + {(\frac{1}{3})}^{t} + 8 {(\frac{1}{9})}^{t} > 1$

Hàm số $f (t) = 4 . {(\frac{4}{9})}^{t} + {(\frac{1}{3})}^{t} + 8 {(\frac{1}{9})}^{t}$ nghịch biến và f(2) = 1 nên ta có t < 2 tìm được tập nghiệm là $(\frac{1 + \sqrt{33}}{2}; 9)$ có độ dài trên trục số là $9 - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{17 - \sqrt{33}}{2}$ .

Câu 18:

21/07/2024

Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm số $y = {(1 + \sqrt{2})}^{x}$ đồng biến do cơ số $a = 1 + \sqrt{2} > 1$

$\Rightarrow {(1 + \sqrt{2})}^{2018} < {(1 + \sqrt{2})}^{2019}$ nên C sai.

Câu 19:

Giá trị của m để phương trình $4^{|x|} - 2^{|x| + 1} - m = 0$ có nghiệm duy nhất là:

A. m = 2

B. m = 0

C. m = 1

D. m = –1

Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là m $\leq - 1$

Do thay x bởi –x thì phương trình không đổi nên điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 => m = –1

Thử lại với m = –1 thỏa mãn nên D đúng.

Câu 20:

22/07/2024

Tập nghiệm của bất phương trình $\log^{2} x - \log x^{3} + 2 \geq 0$ là $S = (a; b] \cup [c; + \infty)$ thì a + b + c là:

A. 10

B. 100

C. 110

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt log x = t, bất phương trình

=> a + b + c =110.

Câu 21:

17/07/2024

Cho hàm số $y = \ln \frac{1}{x}$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. e^y + y’ = 0

B. e^y – y’ = 0

C. e^y. y’ = 0

D. $e^{y} . y^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

Câu 22:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2} (x - 1) \leq 2$ là:

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án A.

Bất phương trình

$0 < x - 1 \leq 4 \Leftrightarrow 1 < x \leq 5$ .

Câu 23:

23/07/2024

Cho a, b, c dương thỏa mãn 2^a = 3^b = 18^c. Khi đó biểu thức $T = \frac{b}{c} - \frac{b}{a}$ có giá trị là:

A. 1.

B. log₂18.

C. 2.

D. log₂3.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt 2^a = 3^b = 18^c = t

=> a = log₂t, b = log₃t, c = log₁₈t

$\Rightarrow T = \frac{b}{c} - \frac{b}{a} = \frac{\log_{3} t}{\log_{18} t} - \frac{\log_{3} t}{\log_{2} t} = \frac{\log_{3} t}{\frac{\log_{3} t}{\log_{3} 18}} - \frac{\log_{3} t}{\frac{\log_{3} t}{\log_{3} 2}} = \log_{3} 18 - \log_{3} 2 = \log_{3} 9 = 2$

Câu 24:

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên $ℝ$ .

A. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

B. y = log₂ (x – 1).

C. y = log₂ (x² + 1).

D. y = log₂ (2^x + 1).

Xem đáp án

Đáp án D

Tính đạo hàm và tìm tấp xác định của 3 hàm số trong đáp án A, B, C đều sai.

Ta có $y = \log_{2} (2^{x} + 1) c ó y^{'} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 1} > 0 \forall x \in ℝ$ .

Câu 25:

13/07/2024

Cho các số thực dương a, b, c với $c \neq 1$ . Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$\frac{1}{2} \log_{c}^{2} {(\frac{b}{a})}^{2} = \frac{1}{2} {[\log_{c} {(\frac{b}{a})}^{2}]}^{2} = \frac{1}{2} {(2 \log_{c} \frac{b}{a})}^{2} = 2 {(\log_{c} b - \log_{c} a)}^{2}$

=> D sai.

Câu 26:

15/07/2024

Cho n > 1 là một số nguyên. Giá trị biểu thức $\frac{1}{\log_{2} n!} + \frac{1}{\log_{3} n!} + . . . + \frac{1}{\log_{n} n!}$ bằng:

A. 0.

B. n.

C. n!.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

$\frac{1}{\log_{2} n!} + \frac{1}{\log_{3} n!} + . . . + \frac{1}{\log_{n} n!} = \log_{n!} 2 + \log_{n!} 3 + . . . + \log_{n!} n$

= log_n! (2.3....n) = log_n! n! = 1.

Câu 27:

Điều kiện logarit | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Tập nghiệm S của bất phương trình ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \leq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$ là:

D. [–2;0].

Xem đáp án

Đáp án C

${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \leq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 - \sqrt{8})}^{2 x} \leq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$

$\Leftrightarrow {(3 + \sqrt{8})}^{- 2 x} \leq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$

$\Leftrightarrow x^{2} \geq - 2 x \Leftrightarrow x^{2} + 2 x \geq 0$

Câu 28:

22/07/2024

Cho 9^x + 9^–x = 23. Tính 3^x + 3^–x.

A. 5.

B. $\pm 5 .$

C. 3.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có (3^x + 3^–x)² = 9^x + 9^–x + 2= 23 + 2 = 25

=> 3^x + 3^–x = 5 vì 3^x + 3^–x > 0.

Câu 29:

10/11/2024

Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x² + 9y² = 6xy. Tính $M = \frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 . \log_{12} (x + 3 y)}$ .

A. M = 1.

B. $M = \frac{1 + \log_{12} 3 y}{\log_{12} 6}$ .

C. M = 2.

D. M = log₁₂ 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là A.

Lời giải

Ta có x² + 9y² = 6xy <=> (x – 3y)² = 0 <=> x = 3y.

$\Rightarrow M = \frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 . \log_{12} 6 y} = \frac{\log_{12} 12 + \log_{12} 3 y^{2}}{\log_{12} 36 y^{2}}$

$= \frac{\log_{12} 36 y^{2}}{\log_{12} 36 y^{2}} = 1$ .

*Phương pháp giải:

Biển đổi điều kiện đề bài và sử dụng công thức logarit rút gọn biểu thức cần tìm

*Lý thuyết :

Hàm số logarit

- Hàm số logarit cơ số $a$ là hàm số có dạng $y = \log_{a} x (0 < a \neq 1)$ .

- Hàm số logarit có đạo hàm tại $\forall x > 0$ và $y^{'} = {(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

(đặc biệt ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ )

- Giới hạn liên quan $lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ .

- Đạo hàm: $y = \log_{a} x \Rightarrow y^{'} = {(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}; y = \log_{a} u (x) \Rightarrow y^{'} = \frac{u^{'} (x)}{u (x) \ln a}$

(đặc biệt ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ )

Khảo sát $y = \log_{a} x$ :

- TXĐ: $D = (0; + \infty)$

- Chiều biến thiên:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$ .

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $(1; 0)$ và $(a; 1)$ .

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì $x > 0$ .

+ Dáng đồ thị:

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Logarit (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 30: