a) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm $A\left(-\frac{3}{2};0\right)$ ; B(0; 3)

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}a\text{'}+b\text{'}=0\\ 0.a\text{'}+b\text{'}=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=2\\ b\text{'}=3\end{array}\right.$ 

Suy ra đường thẳng có dạng y = 2x + 3 $\iff$ 2x – y + 3 = 0

Vì vậy a = 2; b = – 1; c = 3.

b) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(1; 0) ; B(0; 1)

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}a\text{'}+b\text{'}=0\\ 0.a\text{'}+b\text{'}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a\text{'}=-1\\ b\text{'}=1\end{array}\right.$ 

Suy ra đường thẳng có dạng y = – x + 1 $\iff$ x + y – 1 = 0

Vì vậy a = 1; b = 1; c = – 1.

c) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và song song với trục hoành nên đường thẳng có dạng y c 3 = 0

Vì vậy a = 0; b = 1; c = – 3.

d) Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = a’x + b’

Đường thẳng đi qua điểm A(– 2; 0) và song song với trục Oy nên đường thẳng có dạng x + 2 = 0.

Vì vậy a = 1; b = 0; c = 2.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (4; 7) nên ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: 

$\left\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=2+7t\end{array}\right.$

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (4; 7) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}$ (7; –4) phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 7(x – 2) – 4(y – 2) = 0 $\iff$ 7x – 4y – 6 = 0.

b) Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (– 5; 3) nên ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là: – 5(x – 0) + 3(y – 1) = 0 ⇔ – 5x + 3y – 3 = 0.

Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (–5 ; 3) nên ta có vectơ chỉ của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$(3; 5) phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=1+5t\end{array}\right.$.

c) Đường thẳng d đi qua A(–2; –3) và có hệ số góc k = 3 nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: y = 3(x + 2) – 3 ⇔ 3x – y + 3 = 0.

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}\left(3;-1\right)$ suy ra vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;3)$. Vì vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=-3+3t\end{array}\right.$.

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 1) và Q(3; 4) nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}$ = (2; 3) và có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$ (3; – 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 $\iff$ 3x – 2y – 1 = 0.

a) Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=(2;1)$ và có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 1(x – 0) – 2(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC nên toạ độ của M là: M(2; 2).

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}$ = (1; – 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AM là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=4-2t\end{array}\right.$ 

c) Đường cao AH đi qua điểm A(1; 4) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ = (2; 1) nên phương trình tổng quát của đường cao AH là: 2(x – 1) + 1(y – 4) = 0 ⇔ 2x + y – 6 = 0.

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua M(3; 3) và song song với đường thẳng x + 2y – 2022 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ $\Delta$ (1; 2) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 1(x – 3) + 2(y – 3) = 0 $\iff$ x + 2y – 9 = 0

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua N(2; –1) và vuông góc với đường thẳng 3x + 2y + 99 = 0 nên đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{n}$(2; – 3) phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: 2(x – 2) – 3(y + 1) = 0 ⇔ 2x – 3y – 7 = 0.

a) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ (2; 1) và $\overrightarrow{n_2}$ (2; 3)

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.3 – 1.2 = 4 ≠ 0, suy ra véc tơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ không cùng phương. Do đó d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y+9=0\\ 2x+3y-9=0\end{array}\right.$  ta được M(- 9; 9).

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại một điểm M.

b) Ta có d₁: $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$ suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 2x + y – 5 = 0

d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$(2; 1) và $\overrightarrow{n_2}$(2; 1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ = 2.1 – 1.2 = 0, suy ra vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. Ta lấy M(– 4; – 2) thuộc d₂ , thay toạ độ M vào d₁ ta được 2.(– 4) + (– 2) – 5 = – 15 ≠ 0 suy ra M không thuộc d₁. Vậy d₁ song song với d₂.

c) Ta có d₁: $\left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=8-5t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}t=\frac{x-1}{-1}\\ t=\frac{y-8}{-5}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-8}{-5}\iff 5x-y+3=0$ suy ra phương trình tổng quát của d₁ là: 5x – y + 3 = 0.

Khi đó d₁ và d₂ đều có phương trình tổng quát là 5x – y + 3 = 0

Vậy d₁ trùng với d₂.

a) d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1$ (5; – 3) và ${\overrightarrow{n}}_2$(10; – 6).

Ta có $cos\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|5.10+(-3).(-6)\right|}{\sqrt{5^2+{(-3)}^2}.\sqrt{{10}^2+{(-6)}^2}}=1$.

Suy ra (d₁, d₂) = 0^o

b) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ (7; – 3) và $\overrightarrow{n_2}$(3; 7)

Ta có a_1.a₂ +b₁.b₂ = 7.3 + (– 3).7 = 0, suy ra (d₁, d₂) = 90^o.

c) d₁ và d₂ có véc tơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ (2; – 4) và $\overrightarrow{n_2}$(6; – 2)

Ta có $cos\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|2.6+(-4).(-2)\right|}{\sqrt{2^2+{(-4)}^2}.\sqrt{6^2+{(-2)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Suy ra (d₁, d₂) = 45^o.

a) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|8.2-6.3+7\right|}{\sqrt{8^2+{(-6)}^2}}=\frac{1}{2}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{1}{2}$.

b) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|4.0+9.1-20\right|}{\sqrt{4^2+9^2}}=\frac{11\sqrt{97}}{97}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(0;1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{11\sqrt{97}}{97}$.

c) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|3.1-5\right|}{\sqrt{3^2}}=\frac{2}{3}$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(1; 1) đến đường thẳng ∆ là: $\frac{2}{3}$.

d) Ta có $d_{(M,\Delta )}=\frac{\left|4-25\right|}{\sqrt{1^2}}=21$.

Vậy khoảng cách từ điểm M(4; 9) đến đường thẳng ∆ là: 21.

Ta có ∆ và ∆’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ (6; 8) và $\overrightarrow{n_2}$ (6; 8) hai vectơ này cùng phương. Do đó ∆ và ∆’ song song hoặc trùng nhau.

Dễ dàng nhận thấy ∆ và ∆’ song song với nhau, thật vậy:

Ta lấy $M\left(0;\frac{11}{8}\right)$  thuộc ∆, thay tọa độ điểm $M\left(0;\frac{11}{8}\right)$ vào phương trình ∆’ ta được:

6.0 + 8.$\frac{11}{8}$ – 1 = 10 ≠ 0 nên M ∉ ∆’.

Khi đó, ta có: $d_{(\Delta ,\Delta \text{'})}=d_{(M,\Delta \text{'})}=\frac{\left|6.0+8.\frac{11}{8}-1\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=1$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng 1.