25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài 1. Toạ độ của vectơ có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (3; 0)$

a) Tìm toạ độ của vectơ $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ .

Xem đáp án

a) Ta có $2 \vec{a} = (2; 4)$ ; $3 \vec{b} = (9; 0)$ ;

Vậy $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = (2 + 9; 4 + 0) = (11; 4)$ .

Câu 2:

17/06/2026

b) Tính các tích vô hướng: $\vec{a} . \vec{b}, (3 \vec{a}) . (2 \vec{b})$ .

Xem đáp án

b) Ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = 1.3 + 2.0 = 3$

Ta lại có: $3 \vec{a} = (3; 6); 2 \vec{b} = (6; 0)$

Vậy tích vô hướng của $(3 \vec{a}) . (2 \vec{b}) = 3.6 + 6.0 = 18$ .

Câu 3:

17/06/2026

Cho ba vectơ $\vec{m} = (1; 1), \vec{n} = (2; 2), \vec{p} = (- 1; - 1)$ . Tìm toạ độ của các vectơ:

a) $\vec{m} + 2 \vec{n} - 3 \vec{p}$

Xem đáp án

a) $\vec{m} + 2 \vec{n} - 3 \vec{p}$

Ta có $2 \vec{n} = (4; 4); 3 \vec{p} = (- 3; - 3)$

Vậy $\vec{m} + 2 \vec{n} - 3 \vec{p}$ = (1 + 4 – (– 3); 1 + 4 – (– 3))= (8; 8)

Câu 4:

17/06/2026

Cho tam giác MNP có toạ độ các đỉnh là M(3; 3), N(7; 3) và P(3; 7).

a) Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh MN.

Xem đáp án

a) Gọi E(x_E; y_E) là trung điểm của MN

Ta có $\{\begin{cases} x_{E} = \frac{x_{M} + x_{N}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5 \\ y_{E} = \frac{y_{M} + y_{N}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = 3 \end{cases}$

Vậy E(5; 3).

Câu 5:

17/06/2026

b) Tim toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.

Xem đáp án

b) Gọi G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác MNP

Ta có $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3} = \frac{3 + 7 + 3}{3} = \frac{13}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3} = \frac{3 + 3 + 7}{3} = \frac{13}{3} \end{cases}$

Vậy $G (\frac{13}{3}; \frac{13}{3})$ .

Câu 6:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 3), B(3; 1) và C(6; 4).

a) Tính độ đài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc B.

Xem đáp án

a) + Độ dài các cạnh của tam giác ABC

$\vec{A B} = (2; - 2) \Rightarrow |\vec{A B}| = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$

Suy ra AB = $2 \sqrt{2}$ .

$\vec{B C} = (3; 3) \Rightarrow |\vec{B C}| = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$

Suy ra AB = $3 \sqrt{2}$ .

$\vec{A C} = (5; 1) \Rightarrow |\vec{B C}| = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{26}$

Suy ra AC = $\sqrt{26}$ .

+ Tính số đo góc B

Ta có $\vec{B A} = (- 2; 2); \vec{B C} = (3; 3) \Rightarrow \vec{B A} . \vec{B C} = - 2.3 + 2.3 = 0$

$\begin{array}{l} \vec{B A} . \vec{B C} = B A . B C . c o s (\vec{B A}, \vec{B C}) \\ \Leftrightarrow c o s (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{- 2.3 + 2.3}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (\vec{B A}, \vec{B C}) = 90^{o}$

Mà $\hat{B} = (\vec{B A}, \vec{B C})$ = 90^o.

Câu 7:

17/06/2026

b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

b) Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

$\vec{A I} = (x - 1; y - 3); \vec{B I} = (x - 3; y - 1); \vec{C I} = (x - 6; y - 4)$

Suy ra $\{\begin{cases} A I^{2} = B I^{2} \\ A I^{2} = C I^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = {(x - 3)}^{3} + {(y - 1)}^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = {(x - 6)}^{2} + {(y - 4)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 \\ x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 6 y + 9 = x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 8 y + 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x - 4 y = 0 \\ 10 x + 2 y = 42 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{2} \\ y = \frac{7}{2} \end{cases}$

Vậy $I (\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$ .

Câu 8:

17/06/2026

Cho năm điểm A(2 ; 0), B(0; – 2), C(3; 3), D(– 2; – 2), E(1; – 1). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a) Thuộc trục hoành;

Xem đáp án

a) Điểm thuộc trục hoành là điểm có tung độ bằng 0. Do đó các điểm thuộc trục hoành là: A(2; 0).

Câu 9:

17/06/2026

b) Thuộc trục tung;

Xem đáp án

b) Điểm thuộc trục hoành là điểm có hoành độ bằng 0. Do đó các điểm thuộc trục tung là: B(0; – 2).

Câu 10:

17/06/2026

c) Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Xem đáp án

c) Điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có hoành độ bằng tung độ. Do đó các điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là: C(3; 3); D(– 2; – 2).

Câu 11:

17/06/2026

Cho điểm M(4; 5). Tìm toạ độ:

a) Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

Xem đáp án

a) Gọi H(a; 0) (a ≠ 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox

Ta có $\vec{O H} . \vec{M H} = 0$

Mà $\vec{O H} = (a; 0); \vec{M H} = (a - 4; - 5)$

$\vec{O H} . \vec{M H} = a . (a - 4) + 0. (- 5) = a^{2} - 4 a = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a = 4 \end{array}$

Do đó chỉ có a = 4 là thỏa mãn điều kiện.

Vậy H(4; 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox.

Câu 12:

17/06/2026

b) Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox;

Xem đáp án

b) Ta có điểm M’(x’; y’) đối xứng với điểm M(x; y) qua trục Ox $\Rightarrow \{\begin{cases} x = x' \\ y = - y' \end{cases}$

Vậy M’(4; – 5) là điểm đối xứng với M qua trục Ox.

Câu 13:

17/06/2026

c) Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

Xem đáp án

c) Gọi K(0; b) (b ≠ 0) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy.

Ta có $\vec{O K} . \vec{M K} = 0$

Mà $\vec{O K} = (0; b); \vec{M K} = (- 4; b - 5)$

$\vec{O K} . \vec{M K} = 0. (- 4) + b . (b - 5) = b^{2} - 5 b = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 0 \\ b = 5 \end{array}$

Do đó chỉ có b = 5 là thỏa mãn điều kiện.

Vậy K(0; 5) là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy.

Câu 14:

17/06/2026

d) Điểm M’’ đối xứng với M qua trục Oy;

Xem đáp án

d) Ta có điểm M”(x”; y”) đối xứng với điểm M(x; y) qua trục Oy $\Rightarrow \{\begin{cases} x = - x " \\ y = y " \end{cases}$

Vậy M”(– 4; 5) là điểm đối xứng với M qua trục Oy.

Câu 15:

17/06/2026

e) Điểm C đối xứng với M qua gốc O.

Xem đáp án

e) Gọi C(x; y) là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ O

Suy ra O là trung điểm của MC.

Ta có $\{\begin{cases} \frac{x + 4}{2} = 0 \\ \frac{y + 5}{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \\ y = - 5 \end{cases}$

Vậy C(– 4; – 5).

Câu 16:

17/06/2026

Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 4), C(4; 4).

a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.

Xem đáp án

a)

Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 4), C(4; 4). a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành. (ảnh 1)

Giả sử D(x; y)

Ta có $\vec{A B} = (1; 3); \vec{D C} = (4 - x; 4 - y)$

Để ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - x = 1 \\ 4 - y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy D(3; 1).

Câu 17:

17/06/2026

b) Tìm toạ độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Xem đáp án

b) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vậy I là trung điểm của AC và BD theo tính chất hình hành

Ta có $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} \end{cases}$

Vậy $I (\frac{5}{2}; \frac{5}{2})$ .

Câu 18:

17/06/2026

Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 1), B(7; 3), C(4; 7) và cho các điểm M(2; 3), N(3; 5).

a) Chứng minh bốn điểm A, M, N, C thẳng hàng.

Xem đáp án

a) Ta có $\vec{A M} = (1; 2); \vec{A N} = (2; 4)$ suy ra $\vec{A N} = 2 \vec{A M}$ . Do đó 3 điểm A, M, N thẳng hàng

Ta có $\vec{A M} = (1; 2); \vec{A C} = (3; 6)$ suy ra $\vec{A C} = 3 \vec{A M}$ . Do đó 3 điểm A, M, C thẳng hàng

Vì 3 điểm A, M, N thẳng hàng nên N thuộc đường thẳng AM; 3 điểm A, M, C thẳng hàng nên C thuộc đường thẳng AM.

Vậy 4 điểm A, M, N, C thẳng hàng.

Câu 19:

17/06/2026

b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác ABC và MNB trùng nhau.

Xem đáp án

b) Goi G(x; y) là trọng tâm tam giác ABC

Ta có $\{\begin{cases} x = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{1 + 7 + 4}{3} = 4 \\ y = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{1 + 3 + 7}{3} = \frac{11}{3} \end{cases}$

Suy ra G $(4; \frac{11}{3})$ .

Goi G’(x’; y’) là trọng tâm tam giác MNB

Ta có $\{\begin{cases} x' = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{B}}{3} = \frac{2 + 3 + 7}{3} = 4 \\ y' = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{B}}{3} = \frac{3 + 5 + 3}{3} = \frac{11}{3} \end{cases}$

Suy ra G’ $(4; \frac{11}{3})$ .

Do đó điểm G trùng G’.

Vậy trọng tâm tam giác ABC và MNB trùng nhau.

Câu 20:

17/06/2026

Cho bốn điểm M(6; – 4), N(7; 3), P(0; 4), Q(– 1; -3). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Xem đáp án

Cho bốn điểm M(6; – 4), N(7; 3), P(0; 4), Q(– 1; -3). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. (ảnh 1)

Ta có $\vec{M N} = (1; 7); \vec{Q P} = (1; 7) \Rightarrow \vec{M N} = \vec{Q P}$ nên hai véc tơ cùng phương suy ra MN song song với PQ và MN = QP (1)

Ta có $\vec{M Q} = (- 7; 1); \vec{N P} = (- 7; 1) \Rightarrow \vec{M Q} = \vec{N P}$ nên hai véc tơ cùng phương suy ra MQ song song với NP và MQ = NP (2)

Mà $|\vec{M N}| = |\vec{N P}| = |\vec{P Q}| = |\vec{M Q}| = \sqrt{50}$ vậy MN = NP = PQ = MQ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi (4)

Ta có $\vec{M N} . \vec{N P} = 1. (- 7) + 7.1 = 0 \Rightarrow \vec{M N} ⊥ \vec{N P}$ vậy MN $⊥$ NP.

Tứ giác MNPQ là hình thoi và có 1 góc vuông nên tứ giác MNPQ là hình vuông.

Câu 21:

17/06/2026

Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (1; - 4), \vec{b} = (5; 3)$

Xem đáp án

a) Ta có $cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1.5 + (- 4) .3}{\sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}} . \sqrt{5^{2} + 3^{2}}} = - \frac{7 \sqrt{2}}{34}$

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 106^{o} 56'$ .

Câu 22:

17/06/2026

b) $\vec{a} = (4; 3), \vec{b} = (6; 0)$

Xem đáp án

b) Ta có $cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{4.6 + 3.0}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}} . \sqrt{6^{2} + 0^{2}}} = \frac{4}{5}$

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 36^{o} 52'$ .

Câu 23:

17/06/2026

c) $\vec{a} = (2; 2 \sqrt{3}), \vec{b} = (- 3; \sqrt{3})$

Xem đáp án

c) Ta có $cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{2. (- 3) + 2 \sqrt{3} . \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{{(- 3)}^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}} = 0$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ .

Câu 24:

17/06/2026

Cho điểm A(1; 4). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc toạ độ O. Tìm toạ độ của điểm C có tung độ bằng 3, sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Xem đáp án

Vì B là điểm đối xứng với A qua gốc toạ độ nên B(– 1; – 4)

Giả sử C(x; 3) $\Rightarrow \vec{C A} (1 - x; 1); \vec{C B} (- 1 - x; - 7)$ .

Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có $\vec{C A} . \vec{C B} = 0$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow (1 - x) . (- 1 - x) + 1. (- 7) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \sqrt{2} \\ x = - 2 \sqrt{2} \end{array} \end{array}$

Vậy $C (2 \sqrt{2}; 3)$ hoặc $C (- 2 \sqrt{2}; 3)$ .

Câu 25:

17/06/2026

Cho vectơ $\vec{a}$ = (2; 2). Hãy tìm toạ độ một vectơ đơn vị $\vec{e}$ cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Xem đáp án

Ta có $|\vec{a}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

Đặt $\vec{e} = \frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Ta có vectơ $\vec{e}$ là vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec{a}$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3