50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc (2023) Đề thi thử Toán THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh (Lần 1) có đáp án

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; x = 4

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.

Câu 2:

Nghiệm của phương trình

{(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 2 x - 3} = 5^{x + 1}

A. $x = - 1; x = 2$

B. Vô nghiệm.

C. $x = 1; x = 2$

D. $x = 1; x = - 2$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình đã cho tương đương $5^{- x^{2} + 2 x + 3} = 5^{x + 1} \Leftrightarrow - x^{2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2. \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1; x = 2$

Câu 3:

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 4 là

A. 24

B. 12

C. 96

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

$V_{k . c h} = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} .6.4 = 8.$

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ . Xét các mệnh đề sau:

1) Hàm số đã cho đồng biến trên $(1; + \infty) .$

2) Hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ \ \{1\} .$

3) Hàm số đã cho không có điểm cực trị.

4) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) .$

Số các mệnh đề đúng là

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y = \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0; \forall x \neq 1$ nên hàm số đã cho không có điểm cực trị, nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) .$

Câu 5:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

S A = 3 \sqrt{2} a

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. $4 a^{3} \sqrt{2}$

B. $12 a^{3} \sqrt{2}$

C. $a^{3} \sqrt{2}$

D. $3 a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 căn 2 a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD (ảnh 1)

Diện tích hình vuông ABCD là $S = {(2 a)}^{2} = 4 a^{2}$

Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} S A . S = \frac{1}{3} .3 a \sqrt{2} .4 a^{2} = 4 a^{3} \sqrt{2}$

Câu 6:

Thể tích V của khối trụ có chiều cao h = 4 cm và bán kính đáy r = 3 cm bằng

A.

48 π

cm³

B.

12 π

cm³

C.

7 π

cm³

D.

36 π

cm³

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} h = π {.3}^{2} .4 = 36 π$ cm³

Câu 7:

Cho biểu thức $\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{8}}} = 2^{\frac{m}{n}}$ , trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = m^{2} + n^{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $P \in (425; 430)$

B. $P \in (430; 435)$

C. $P \in (415; 420)$

D. $P \in (420; 425)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{8}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt[5]{2^{3}}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{{2.2}^{\frac{3}{5}}}} = \sqrt[3]{4 \sqrt{2^{\frac{8}{5}}}} = \sqrt[3]{{4.2}^{\frac{4}{5}}} = \sqrt[3]{2^{2} {.2}^{\frac{4}{5}}} = \sqrt[3]{2^{\frac{14}{5}}} = 2^{\frac{14}{15}}$

Từ đó suy ra $m = 14, n = 15$

Vậy $P = 14^{2} + 15^{2} = 421 \in (420; 425)$

Câu 8:

Gọi n là số nguyên dương bất kì,

n \geq 2

, công thức nào dưới đây đúng?

A. $A_{n}^{2} = \frac{n!}{(n - 2)!}$

B. $A_{n}^{2} = \frac{(n - 2)!}{n!}$

C. $A_{n}^{2} = \frac{n!}{2! (n - 2)!}$

D. $A_{n}^{2} = \frac{2! (n - 2)!}{n!}$

Xem đáp án

Chọn A

Công thức đúng là

A_{n}^{2} = \frac{n!}{(n - 2)!}

Câu 9:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là:

A. $S_{x q} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $S_{x q} = π r l$

C. $S_{x q} = π r h$

D. $S_{x q} = 2 π r l$

Xem đáp án

Chọn B

Hình nón có bán kính đáy , đường sinh nên diện tích xung quanh

S_{x q} = π r l

Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên

A. $(- \infty; 1)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị, ta thấy $f^{'} (x) < 0, \forall x < 1$ . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

Câu 11:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 m x + 4)$ có tập xác định là R

A. $m \in [- 2; 2]$

B. $m \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

D. $m \in (- 2; 2)$

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 m x + 4)$ có tập xác định là $ℝ \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 4 > 0, \forall x \in ℝ$

Khi đó

\{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = {(- m)}^{2} - 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2

hay

m \in (- 2; 2)

Câu 12:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và công bội $q = - 3$ . Giá trị của $u_{2}$ bằng

A. $- \frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $- \frac{3}{2}$

D. -6

Xem đáp án

Chọn D

Số hạng thứ hai

u_{2} = u_{1} . q = 2. (- 3) = - 6

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1;2] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;2]. Ta có M + 2m bằng:

A. 1

B. -1

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\{\begin{cases} M = 3 \\ m = - 2 \end{cases} \Rightarrow M + 2 m = - 1.

Câu 14:

Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện nào sau dây?

A. $\{4; 3\}$

B. $\{3; 3\}$

C. $\{3; 4\}$

D. $\{3; 5\}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x - 1}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng $S = a + b + c$ bằng:

Cho hàm số y = ax + b/ cx - 1 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng S = a + b + c bằng: (ảnh 1)

A. S = 0

B. S = -2

C. S = 2

D. S = 4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c} = - 1$

Tiệm cận đứng: $x = \frac{1}{c} = 1$

Từ đây suy ra: $\{\begin{cases} a = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$

Lại có đồ thị cắt trục hoành tại $x = 2$ nên $2 a + b = 0$ hay $b = - 2 a = 2.$

Vậy

S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2.

Câu 16:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình

\log_{3}^{2} x - 2 \log_{3} x - 7 = 0

A. -7

B. 9

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x > 0

Khi đó:

\log_{3}^{2} x - 2 \log_{3} x - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x_{1} = 1 + 2 \sqrt{2} \\ \log_{3} x_{2} = 1 - 2 \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 3^{1 + 2 \sqrt{2}} \\ x_{2} = 3^{1 - 2 \sqrt{2}} \end{array} \Rightarrow x_{1} . x_{2} = 3^{2} = 9.

Câu 17:

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x}

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = (- 1; 0) \cup (0; 1)$

=> Hàm số không có tiệm cận ngang

$\lim_{x \to 0^{+}} y = + \infty \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng

Câu 18:

Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích bằng V . Khi đó, thể tích khối chóp A.A'B'C' bằng:

A. $\frac{3 V}{4} .$

B. V.

C. $\frac{2 V}{3} .$

D. $\frac{V}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C

V_{A . A ’ B ’ C^{'}} = \frac{1}{3} d_{(A / (A ’ B ’ C^{'}))} . S_{A ’ B ’ C^{'}} = \frac{V}{3}

Câu 19:

Với các số a, b > 0 thỏa mãn a² + b² = 7ab, biểu thức log₃(a + b) bằng

A. $\frac{1}{2} (1 + \log_{3} a + \log_{3} b)$

B. $1 + \frac{1}{2} (\log_{3} a + \log_{3} b)$

C. $\frac{1}{2} (3 + \log_{3} a + \log_{3} b)$

D. $2 + \frac{1}{2} (\log_{3} a + \log_{3} b)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = 7 a b \\ \Leftrightarrow a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9 a b \\ \Leftrightarrow {(a + b)}^{2} = 9 a b \\ \Leftrightarrow \log_{3} {(a + b)}^{2} = \log_{3} 9 a b \\ \Leftrightarrow 2. \log_{3} (a + b) = 2 + \log_{3} a + \log_{3} b \\ \Leftrightarrow \log_{3} (a + b) = 1 + \frac{1}{2} (\log_{3} a + \log_{3} b) \end{array}

Câu 20:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

A. $y = x^{3} + 2 x^{2} + 2$

B. $y = - x^{3} + 2 x^{2} + 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 2$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 2$

Xem đáp án

Chọn C

Đồ thị hàm trùng phương có

\lim_{x \to + \infty} y = - \infty \Rightarrow a < 0

Câu 21:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ trên đoạn [1;5]. Tính giá trị T = 2M - m.

A. T = 16

B. T = 26

C. T = 20

D. T = 36

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ liên tục và xác định trên $[1; 5]$

Đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9, y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \notin [1; 5] \\ x = 3 \in [1; 5] \end{array}$

Ta có $y (1) = - 12, y (3) = - 28, y (5) = 4$

Vậy

M = 4, m = - 28, 2 M - m = 36

Câu 22:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ là

A. $ℝ$

B. $(1; + \infty)$

C. $ℝ \ \{1\}$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

Vì số mũ nguyên âm nên hàm số xác định khi và chỉ khi $1 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

Vậy tập xác định là

D = ℝ \ \{1\}

Câu 23:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình $|2 f (x) - 3| = 1$ là

A. 4

B. 5

C. 2

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $|2 f (x) - 3| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 f (x) - 3 = 1 \\ 2 f (x) - 3 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 \\ f (x) = 1 \end{array}$

Dựa vào đồ thị, phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm phân biệt, phương trình f(1)= 1 có 3 nghiệm phân biệt. Các nghiệm khác nhau nên phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 24:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hình chóp có đáy là hình thoi có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp tứ giác đều có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là tam giác có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là hình chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp.

Xem đáp án

Chọn A

Hình thoi không nội tiếp được đường tròn, do đó hình chóp có đáy là hình thoi không có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 25:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = x^{4} + 2$

B. $y = 3 x - 4$

C. $y = x^{3} - 3 x$

D. $V = x^{2} - 2 x$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = 3 x - 4$ xác định với mọi $x \in ℝ$

Ta có $y^{'} = 3 > 0, \forall x \in ℝ .$

Vậy hàm số này không có cực trị.

Câu 26:

. Tìm đẳng thức sai dưới đây.

Cho x, y > 0 và

α, β \in ℝ

A. ${(x y)}^{α} = x^{α} y^{α}$

B. $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$

C. $x^{α} x^{β} = x^{α + β}$

D. ${(x^{α})}^{β} = x^{α β}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 27:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Số M ược gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu

A. $f (x) \geq M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = M .$

B. $f (x) \leq M$ với mọi $x \in D$

C. $f (x) \geq M$ với mọi $x \in D$

D. $f (x) \leq M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = M$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình

2^{x - 3} > 8

A. $[6; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(6; + \infty)$

D. $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

$2^{x - 3} > 8 \Leftrightarrow 2^{x - 3} > 2^{3} \Leftrightarrow x - 3 > 3 \Leftrightarrow x > 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T = (6; + \infty)$

Câu 29:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

A. -2

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60^o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $V = \frac{250 \sqrt{3}}{3} π$

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

B. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{6} π$

C. $V = \frac{500 \sqrt{3}}{27} π$

D. $V = \frac{50 \sqrt{3}}{27} π$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ . Khi đó, Olà trục của hình chóp S.ABCD.

Gọi M là trung điểm của của SD. Kẻ đường trung trực của cạnh SD cắt SO tại I. Khi đó, I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có: $Δ S M I ~ Δ S O D$ suy ra $\frac{S M}{S O} = \frac{S I}{S D} = \frac{M I}{O D} \Rightarrow S I = \frac{S M . S D}{S O} = \frac{S D^{2}}{2 S O}$

Ta có: $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \frac{5}{2}$ . Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có:

$S O = \tan 60 ° . O D = \frac{5 \sqrt{3}}{2}, S D = \frac{O D}{cos 60 °} = 5$

Suy ra $S I = \frac{5^{2}}{2. \frac{5 \sqrt{3}}{2}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Vậy $V = \frac{4}{3} π {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} = \frac{500 \sqrt{3}}{27} π$

Câu 31:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f (x) = (m + 1) x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + x - 1$ không có điểm cực đại?

A. 4

B. 6

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Với m = -1, ta có: $f (x) = 3 x^{2} + x - 1$ là một parabol với hệ số a = 3 > 0 suy ra hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu thỏa yêu cầu đề bài.

Với $m \neq - 1$ , ta có: $f (x) = (m + 1) x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + x - 1$

Suy ra $f' (x) = 3 (m + 1) x^{2} - 2 (2 m - 1) x + 1$ . Khi đó, hàm số không có điểm cực đại <=> hàm số không có cực trị <=> phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow Δ' \leq 0$

$\Leftrightarrow {(2 m - 1)}^{2} - 3 (m + 1) .1 \leq 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 7 m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq m \leq 2$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{0, 1, 2\}$

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 32:

Cho hàm số y = f(2 - x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $3 f^{2} (x^{2} - 4 x) - (m + 2) f (x^{2} - 4 x) + m - 1 = 0$ có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. 7

B. -6

C. 3

D. -13

Xem đáp án

Chọn B

Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 4 x)$

Có $g' (x) = (2 x - 4) f' (x^{2} - 4 x)$ . Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ f' (x^{2} - 4 x) = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $f' (x^{2} - 4 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 4 x = - 4 \\ x^{2} - 4 x = - 2 \\ x^{2} - 4 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 2 \pm \sqrt{2} \\ [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array} \end{array}$

Bảng biến thiên

Lại có: $3 f^{2} (x^{2} - 4 x) - (m + 2) f (x^{2} - 4 x) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow 3 g^{2} (x) - (m + 2) g (x) + m - 1 = 0 (2)$

Ta có: $Δ = {(m + 2)}^{2} - 4.3. (m - 1) 0 = m^{2} - 8 m + 16 = {(m - 4)}^{2} > 0, \forall m \neq 4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có tối đa là 5 nghiệm phân biệt

Do đó, để phương trình $3 f^{2} (x^{2} - 4 x) - (m + 2) f (x^{2} - 4 x) + m - 1 = 0$ có đúng 8 nghiệm phân biệt thì

TH1. $\{\begin{cases} g (x) = 2 \\ - 2 < g (x) < 2 \end{cases}$ . Thế $g (x) = 2$ vào phương trình (2) ta được m = 7. Khi m = 7 , phương trình (2) có hai nghiệm $[\begin{array}{l} g (x) = 2 \\ g (x) = 1 \end{array}$ thỏa yêu cầu.

TH2. $\{\begin{cases} - 3 < g (x) < - 2 \\ - 2 < g (x) < 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < \frac{m + 2 - \sqrt{{(m - 4)}^{2}}}{6} < - 2 \\ - 2 < \frac{m + 2 + \sqrt{{(m - 4)}^{2}}}{6} < 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 18 < m + 2 - |m - 4| < - 12 \\ - 12 < m + 2 + |m - 4| < 12 \end{cases}$

Với $m \geq 4$ , ta có: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 18 < 6 < - 12 \\ - 12 < 2 m - 2 < 12 \end{cases}$ (vô lí).

Với m < 4, ta có: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 18 < 2 m - 2 < - 12 \\ - 12 < 6 < 12 \end{cases} \Leftrightarrow - 8 < m < - 5, m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 7, - 6\}$

Vậy có tổng các giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài là $7 + (- 7) + (- 6) = - 6$

Câu 33:

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O') và (O). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa AB và OO' bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{14}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{14}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{14}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O') và (O). Biết AB = 2a (ảnh 1)

Dựng AA' // OO' ( $A' \in (O)$ ), gọi I là trung điểm A'B, R là bán kính đáy.

Suy ra: khoảng cách giữa AB và OO' là $O I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Và: $I B = \sqrt{O B^{2} - O I^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} \Rightarrow A' B = 2 I B = \sqrt{4 R^{2} - 3 a^{2}}$

Thiết diện qua trục là hình vuông nên AA' = 2R

Ta có:

A A'^{2} + A' B^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow 4 R^{2} + 4 R^{2} - 3 a^{2} = 4 a^{2} \Leftrightarrow R = \frac{a \sqrt{14}}{4}

Câu 34:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Tính thể tích lớn nhất của V_max khối chóp S.ABCM biết $x^{2} + y^{2} = a^{2} .$

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{7}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). (ảnh 1)

Theo đề bài, ta có $0 < x < a$ và $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Khi đó $V_{S . A B C M} = \frac{1}{3} . S_{A B C M} . S A = \frac{1}{3} . \frac{(x + a) a}{2} . y = \frac{1}{6} a \sqrt{a^{2} - x^{2}} (x + a)$

Ta xét hàm số $f (x) = (x + a) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ với $0 < x < a$

$f^{'} (x) = \frac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

Ta có bảng biến thiên của f(x)

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). (ảnh 2)

Vậy $\max_{(0; a)} f (x) = f (\frac{a}{2}) = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ suy ra $\max_{(0; a)} V_{S . A B C M} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$ (đvtt).

Câu 35:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O bán kính $4 \sqrt{3}$ thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:

A. $h = 4 \sqrt{6} .$

B. $h = 8 \sqrt{3} .$

C. $h = 4 \sqrt{3} .$

D. h = 8

Xem đáp án

Chọn D

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O bán kính thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. (ảnh 1)

$d ((P), (Q)) = O O^{'} = h; A B = R$

$Δ O A B$ vuông tại O nên $O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{h^{2}}{4}} .$

$Δ O A O^{'}$ vuông tại O nên $O^{'} A = \sqrt{O^{'} O^{2} + O A^{2}} = \sqrt{h^{2} + R^{2} - \frac{h^{2}}{4}} = \sqrt{R^{2} + \frac{3 h^{2}}{4}} .$

Diện tích xung quanh của hình nón: $S = π . O A . O^{'} A = π . \sqrt{(R^{2} - \frac{h^{2}}{4}) . (R^{2} + \frac{3 h^{2}}{4})}$

Đặt $x = \frac{h^{2}}{4}, x > 0$

Xét $f (x) = π . \sqrt{(R^{2} - x) . (R^{2} + 3 x)} = π . \sqrt{R^{4} + 2 R^{2} x - 3 x^{2}}$ với $x \in (0; R^{2}]$

$f^{'} (x) = π . \frac{2 R^{2} - 6 x}{2 \sqrt{(R^{2} - x) . (R^{2} + 3 x)}} f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 R^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{R^{2}}{3}$

Diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [0;R²]. Khi đó $x = \frac{R^{2}}{3} \Leftrightarrow \frac{h^{2}}{4} = \frac{R^{2}}{3} \Leftrightarrow h^{2} = \frac{4 R^{2}}{3} \Rightarrow h = \frac{2 R \sqrt{3}}{3} = \frac{2 (4 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = 8$

Câu 36:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc đoạn [-4;4] để giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = |f (x^{3} - 3 x + 2) + 2 f (m)|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;1] bằng 5 ?

A. 9

B. 8

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Chọn C

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc đoạn [-4;4] (ảnh 2)

TH1: Giả sử giá trị lớn nhất của hàm g(x) trên đoạn [-1;1] bằng $|- 3 + 2 f (m)|$ .

Theo giả thiết ta có $|- 3 + 2 f (m)| = 5 \Rightarrow [\begin{array}{l} f (m) = 4 \\ f (m) = - 1 \end{array}$ . Thử lại ta có f(m) = 4 không thoả mãn

Với f(m) = -1 . Dựa vào BBT của hàm số f(x) ta có 5 giá trị m thoả mãn.

TH2: Giả sử giá trị lớn nhất của hàm g(x) trên đoạn [-1;1] bằng $|3 + 2 f (m)|$ .

Theo giả thiết ta có $|3 + 2 f (m)| = 5 \Rightarrow [\begin{array}{l} f (m) = 1 \\ f (m) = - 4 \end{array}$ . Thử lại ta có f(m) = -4 không thoả

Với f(m) = 1 . Dựa vào BBT của hàm số f(x) ta có 5 giá trị m thoả mãn.

Vậy có 10 giá trị m thoả mãn đề bài.

Câu 37:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2 \log_{2} (2 x - 2) + \log_{2} {(x - 3)}^{2} = 2$ trên R. Tổng các phần tử của S bằng

A. $4 + \sqrt{2} .$

B. $8 + \sqrt{2} .$

C. 6

D. $6 + \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện xác định của phương trình là $\{\begin{cases} 2 x - 2 > 0 \\ {(x - 3)}^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ x \neq 3 \end{cases}$ (*)

Với điều kiện (*) phương trình $2 \log_{2} (2 x - 2) + \log_{2} {(x - 3)}^{2} = 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} {(2 x - 2)}^{2} + \log_{2} {(x - 3)}^{2} = 2 \Leftrightarrow \log_{2} [{(2 x - 2)}^{2} {(x - 3)}^{2}] = 2 \Leftrightarrow {[(2 x - 2) (x - 3)]}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (2 x - 2) (x - 3) = 2 \\ (2 x - 2) (x - 3) = - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x^{2} - 8 x + 4 = 0 (1) \\ 2 x^{2} - 8 x + 8 = 0 (2) \end{array}$

Phương trình (1) có các nghiệm $x = 2 + \sqrt{2} (N); x = 2 - \sqrt{2} (L)$

Phương trình (2) có nghiệm $x = 2 (N)$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{2 + \sqrt{2}; 2\}$ . Tổng các nghiệm bằng $4 + \sqrt{2}$

Câu 38:

Cho hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m (C)$ , với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $1 < x_{1} < 3 < x_{2} < 4 < x_{3}$

B. $1 < x_{1} < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$

C. $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$

D. $x_{1} < 0 < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ (1). Xét hàm số $f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ với $x \in ℝ$

Ta có $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Ta có $f (x) = 0 \Leftrightarrow - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$

và $f (x) = - 4 \Leftrightarrow - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = - 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 4 \end{array}$

BBT của hàm số f(x)

Cho hàm số y = x^3 - 6x^2 + 9x + m (C), với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3. Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

<=> Phương trình (1) có 3 nghiệm $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm có hoành độ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

Dựa vào BBT ta suy ra $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 3 < x_{3} < 4$

Câu 39:

Cho có tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3m, chiều cao hình trụ là 2m, chiều cao của hình nón là 1m.

Thể tích của toán bộ không gian bên trong tháp nước gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $V = \frac{15 π}{2} (m^{3}) \cdot$

B. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{48} \cdot$

C. $V = 7 π (m^{3}) \cdot$

D. $V = \frac{33 π}{4} (m^{3}) \cdot$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: V_nón $= \frac{1}{3} O E . π . {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{3 π}{4}$ , V_trụ $= A D . π . {(\frac{3}{2})}^{2} = 2. \frac{9 π}{4} = \frac{9 π}{2}$ .

Thể tích phần còn lại $V_{3} = \frac{V_{c a u}}{2} = \frac{\frac{4}{3} . π . \frac{27}{8}}{2} = \frac{9 π}{4}$

Vậy thể tích của toán bộ không gian bên trong tháp nước bằng: $\frac{3 π}{4} + \frac{9 π}{2} + \frac{9 π}{4} = \frac{30 π}{4} = \frac{15 π}{2}$

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số m để hàm số

y = \frac{\cos x + 1}{10 \cos x + m}

đồng biến trên khoảng

(0; \frac{π}{2}) \cdot

A. 9

B. 12

C. 10

D. 20

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = \cos x, \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \Rightarrow t \in (0; 1)$

Ta thấy hàm số $t = \cos x$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ nên để hàm số $y = \frac{\cos x + 1}{10 \cos x + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ khi và chỉ khi hàm số $y = \frac{t + 1}{10 t + m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$

Ta có $f^{'} (t) = \frac{m - 10}{{(10 t + m)}^{2}} < 0, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow m < 10$

Lại có $10 t + m \neq 0 \Leftrightarrow \frac{- m}{10} \neq t \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{- m}{10} \leq 0 \\ \frac{- m}{10} \geq 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 10 \end{array}$

Khi đó ta có:

\{\begin{cases} m < 10 \\ [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 10 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m < 10 \overset{m \in ℤ^{+}}{\to} m \in \{1; ...; 9\}

Câu 41:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và A'C' (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích V của khối chóp A.BCNM là

A. $V = 7 a^{3} \cdot$

B. $V = 8 a^{3} \cdot$

C. $V = 6 a^{3} \cdot$

D. $V = 4 a^{3} \cdot$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi V là thể tích khối lăng trụ.

Vì BMCN là hình thang có hai đáy BC, MN và $B C = 2 M N$ nên ta có

$S_{Δ B M N} = \frac{1}{2} d (B; M N) . M N = \frac{1}{2} d (N; B C) . \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} S_{Δ B C N}$

Suy ra $V_{A . B C N M} = V_{A . B M N} + V_{A . B C N} = \frac{3}{2} V_{A . B C N} = \frac{3}{2} V_{N . A B C} = \frac{3}{2} . \frac{1}{3} V = \frac{1}{2} V$

Ta có đáy là tam giác ABCvuông tại A nên: $S_{Δ A B C} = 6 a^{2}$

Vì $B^{'} C^{'} / / (A B C) \Rightarrow d (A B; B^{'} C^{'}) = d (B^{'} C^{'} (A B C)) = d (B^{'}; (A B C)) = 2 a = h$

Với h là chiều cao của khối lăng trụ.

Suy ra

V = h . S_{Δ A B C} = 2 a .6 a^{2} = 12 a^{3} \Rightarrow V_{A . B C N M} = \frac{1}{2} V = 6 a^{3}

Câu 42:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi $α$ là góc giữa (ACD') và (ABCD). Giá trị của $\tan α$ bằng:

A. $\sqrt{2} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. 1

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi anpha là góc giữa (ACD') và (ABCD). Giá trị của tan anpha bằng: (ảnh 1)

Gọi O là trung điểm của AC. Tam giác D'AC cân tại $D' \Rightarrow D O ⊥ A C$ . Do đó góc giữa (ACD') và (ABCD) là $\hat{D' O D} = α \Rightarrow \tan α = \frac{D D'}{D O} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} .$

Câu 43:

Cho đồ thị $(C) : y = \frac{x + 2}{x - 1}$ . Gọi A, B, C là ba điểm phân biệt thuộc (C) sao cho trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng $Δ : y = - 3 x + 10$ . Độ dài đoạn thẳng OH bằng

A. $O H = 5$

B. $O H = 2 \sqrt{5} .$

C. $O H = \sqrt{10}$

D. $O H = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Do $H \in Δ \Rightarrow H (x; - 3 x + 10)$

Mà A, B, C là ba điểm phân biệt thuộc (C) nên trực tâm H của tam giác ABC cũng thuộc (C) dó đó $- 3 x + 10 = \frac{x + 2}{x - 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ (- 3 x + 10) (x - 1) = x + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - 4 x + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2$

Vậy $H (2; 4) \Rightarrow \vec{O H} = (2; 4) \Rightarrow O H = 2 \sqrt{5} .$

Câu 44:

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 4000$ và $5 (25^{y} + 2 y) = x + \log_{5} {(x + 1)}^{5} - 4$ ?

A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $5 (25^{y} + 2 y) = x + \log_{5} {(x + 1)}^{5} - 4 \Leftrightarrow 5 \log_{5} (x + 1) + x + 1 = 5^{2 y + 1} + 5 (2 y + 1)$ (1)

Đặt $\log_{5} (x + 1) = t \Rightarrow x + 1 = 5^{t}$

Phương trình (1) trở thành: $5 t + 5^{t} = 5 (2 y + 1) + {5^{2}}^{y + 1}$ (2)

Xét hàm số $f (u) = 5 u + 5^{u}$ trên $ℝ$

$f^{'} (u) = 5 + 5^{u} \ln 5 > 0, \forall u \in ℝ$ nên hàm số $f (u)$ đồng biến trên $ℝ$

Do đó $(2) \Leftrightarrow f (t) = f (2 y + 1) \Leftrightarrow t = 2 y + 1 \Rightarrow \log_{5} (x + 1) = 2 y + 1 \Leftrightarrow x + 1 = 5^{2 y + 1} \Leftrightarrow x = {5.25}^{y} - 1$

Vì $0 \leq x \leq 4000 \Rightarrow 0 \leq {5.25}^{y} - 1 \leq 4000 \Leftrightarrow \frac{1}{5} \leq 25^{y} \leq \frac{4001}{5} \Leftrightarrow \frac{- 1}{2} \leq y \leq \log_{25} \frac{4001}{5} \approx 2.08$

Do , có 3 giá trị của y nên cũng có 3 giá trị của x

Vậy có 3 cặp số nguyên (x;y)

Câu 45:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB và $A A^{'} = a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

C. $V = 2 a^{2} \sqrt{2}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB (ảnh 1)

Do tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a nên $A B = B C = a \sqrt{2} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác $A A^{'} H$ ta có: $A^{'} H = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Vậy:

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . A^{'} H = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

Câu 46:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB = 2AD = 6. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC.

A. $V = \frac{135 π \sqrt{2}}{4} .$

B. $V = 36 π \sqrt{2} .$

C. $V = \frac{63 π \sqrt{2}}{2} .$

D. $V = \frac{45 π \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích khối tròn xoay sinh ra sau khi quay hình thang ABCD xung quanh cạnh BC được tính như sau: $V = 2. (V_{1} - V_{2})$ với $V_{1}$ là thể tích khối nón có đỉnh là C có đáy là hình tròn tâm B, $V_{2}$ là khối nón đỉnh H có đáy là hình tròn tâm tâm I

Tam giác BCD vuông cân tại B nên $B C = B D = A B \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$

Nên $V_{1} = \frac{1}{3} π B C^{2} . B D = \frac{1}{3} π . {(3 \sqrt{2})}^{2} .3 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2} π$

Dễ dàng chứng minh được BAHE là hình vuông nên $A E = H B = A B \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow H I = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Nên $V_{2} = \frac{1}{3} π . I A^{2} . I H = \frac{1}{3} π {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} . \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} π$

Vậy $V = 2 (V_{1} - V_{2}) = \frac{63 \sqrt{2}}{2} π$

Câu 47:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = |3 x^{4} - m x^{3} + 6 x^{2} + m - 3|$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. 5

B. 6

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $f (x) = 3 x^{4} - m x^{3} + 6 x^{2} + m - 3$

Do $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} (3 x^{4} - m x^{3} + 6 x^{2} + m - 3) = + \infty > 0$

Nên $y = |f (x)|$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} f (x) \geq 0 \\ f^{'} (x) \geq 0 \end{matrix}, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} f (0) \geq 0 \\ f^{'} (x) \geq 0 \end{matrix}, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m - 3 \geq 0 \\ 12 x^{3} - 3 m x^{2} + 12 x \geq 0 \end{matrix}, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq 4 x + \frac{4}{x} \end{matrix}, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq \min_{x \in (0; + \infty)} (4 x + \frac{4}{x}) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \geq 3 \\ m \leq 8 \end{matrix} \Leftrightarrow 3 \leq m \leq 8$

Vậy $3 \leq m \leq 8$ .

Câu 48:

Cho phương trình $(4 \log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 5) \sqrt{7^{x} - m} = 0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 47

B. 49

C. Vô số

D. 48

Xem đáp án

Chọn A

Xét phương trình $(4 \log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 5) \sqrt{7^{x} - m} = 0$

Điều kiện: $\{\begin{matrix} x > 0 \\ m \leq 7^{x} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq \log_{7} m \\ x > 0 \end{matrix}$

Phương trình tương đương $[\begin{matrix} 4 \log_{2}^{2} x + \log_{2} x - 5 = 0 \\ 7^{x} - m = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \begin{matrix} x = 2 \\ x = 2^{\frac{- 5}{4}} \end{matrix} \\ x = \log_{7} m \end{matrix}$

Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt:

TH1: $\log_{7} m \leq 0 \Leftrightarrow 0 < m \leq 1 \Rightarrow m = 1$

TH2: $2^{\frac{- 5}{4}} \leq \log_{7} m < 2 \Leftrightarrow 7^{2^{\frac{- 5}{4}}} \leq m < 49 \Rightarrow m \in \{3; 4; ...; 48\}$

Vậy có tất cả 47 giá trị m thỏa mãn.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có $A B = 4 a, B C = 3 \sqrt{2} a,$ $\hat{A B C} = 45 °; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 °$ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $\frac{\sqrt{2}}{4} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. $\frac{a \sqrt{183}}{6}$

B. $\frac{a \sqrt{183}}{3}$

C. $\frac{5 a \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{3 a \sqrt{5}}{12}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, BC = 3 căn bậc hai 2 a, góc ABC = 45 độ, góc SAC = góc SBC = 90 độ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng căn bậc hai 2/4 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng (ảnh 1)

Do $S A ⊥ A C, S B ⊥ B C$ nên $S, A, B, C$ nằm trên mặt cầu đường kính $S C$ ,

Ta có $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \sin 45^{0} = 10 a^{2} \Rightarrow A C = a \sqrt{10}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Ta có $C A ⊥ S A$ và $C A ⊥ S H$ nên $C A ⊥ H A$

Tương tự: $C B ⊥ H B$

Khi đó ABCH nội tiếp đường tròn đường kính HC nên $H C = \frac{A C}{\sin 45^{0}} = 2 \sqrt{5} a$

Ta có: $H B = \sqrt{H C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{2}$

Gọi K, I là hình chiếu vuông góc của C và của H lên AB. Khi đó $Δ C K B$ và $Δ H I B$ vuông cân nên $C K = \frac{3 \sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = 3 a$ và $H I = \frac{H B}{\sqrt{2}} = a$

Do đó $\frac{d (H, (S A B))}{d (C, (S A B))} = \frac{H I}{C K} = \frac{1}{3}$

Ta có $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \frac{d (C, (S A B))}{C B} = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow d (C, (S A B)) = C B . \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{3 a}{2} \Rightarrow d (H, (S A B)) = \frac{a}{2}$

Khi đó $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{d^{2} (H, (S A B))} - \frac{1}{H I^{2}} = \frac{4}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{a^{2}} \Rightarrow S H^{2} = \frac{a^{2}}{3}$

Vậy $S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3} + 20 a^{2}} = \frac{a \sqrt{183}}{3}$ , suy ra bán kính mặt cầu $R = \frac{a \sqrt{183}}{6}$

Câu 50: