Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) + f($\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x$)=$\frac{1}{2}\frac{\sin x}{\cos x(8{\cos }^{3}x+1)}$, $\forall x\in R$ Biết tích phân I=${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng I=$\frac{a}{b}\ln \frac{c}{d};a,b,c,d \in Z$ và các phân số $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính S=$a^3+ab-c+d$

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ và trục hoành.

Tính $\int (x-\sin 2x)dx$

Cho I =${\int }_1^{2}x\sqrt{4-x^2}dx$ và t = $\sqrt{4-x^2}$. Khẳng định nào sau đây sai?

Biết rằng ${\int }_0^5\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx=a\sqrt{6}-\frac{b}{c}$, trong đó $a,b,c\in N$ đồng thời $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a + b + c.

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=$5^x$ thỏa mãn f(0)=$\frac{1}{\ln 5}$. Tính giá trị biểu thức T=F(0)+F(1)+F(2)+...+F(2017)

Cho $z\in C$ thỏa mãn $(2+i)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}+1-2i$. Tìm giá trị của biểu thức T=|z+1+i|+|z-(1+i)|

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(0)=1;${\int }_0^1{(1-x)}^{2}f\text{'}\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân  bằng ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin 3xdx$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=8$ Tính ${\int }_0^{2}f\left(2x\right)dx$

Cho hàm số y=f(x) liên tục, xác định trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phằng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=b (a<b) được tính theo công thức.

Nguyên hàm F(x)  của hàm số f(x)=3$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  là.

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm f'(x)  liên tục trên [1;4], f(1)=12  và ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=17$  Giá trị của f(4)  bằng

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-x^2} (-\sqrt{6}\le x\le \sqrt{6})$  và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng H quanh trục Ox

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=|1+x|-|1-x| trên tập R và thỏa mãn F(1)= 3.Tính tổng F(0)+F(2)+F(-3).

Cho hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1;4] và thỏa mãn hệ thức sau với mọi $x\in$[1;4] 

f(1)=2g(1)=2; f'(x)=$\frac{1}{x\sqrt{x}}.\frac{1}{g\left(x\right)}$; g'(x)=$\frac{-2}{x\sqrt{x}}.\frac{1}{f\left(x\right)}$. Tính I=${\int }_1^4\left[f\right(x).g(x\left)\right]dx$

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^4+3}{x^2}$ là

Cho ${\int }_0^1(\frac{3}{x+3}-\frac{10}{{(x+3)}^2})dx=3\ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6}$, trong đó a, b là 2 số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}g\left(x\right)dx=-1$. Tính I=${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left(2f\right(x)+x\sin x-3g(x\left)\right)dx$ 

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=\sqrt{x{e}^x}$ và các đường thẳng x = 1, x = 2,  y = 0. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox bằng

Một vật chuyển động theo quy luật S=$\frac{-1}{2}{t}^3+9t^2+5$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 8 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

Cho${\int }_1^{2}2\left[2f\right(x)-x]dx=1$, khi đó ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ bằng

Biết $a,b\in R$ thỏa mãn $\int \sqrt{2x+1}dx=a{(2x+1)}^b+C$. Tính P=ab 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^5-x^3$ và trục Ox là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn 2xf'(x)+f(x)=$3x^2\sqrt{x}$ biết f(1)=$\frac{1}{2}$. Gía trị f(2) bằng