Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(0)=1;${\int }_0^1{(1-x)}^{2}f\text{'}\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân  bằng ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Cho${\int }_1^{2}2\left[2f\right(x)-x]dx=1$, khi đó ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ bằng

Tính $\int (x-\sin 2x)dx$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=8$ Tính ${\int }_0^{2}f\left(2x\right)dx$

Nguyên hàm F(x)  của hàm số f(x)=3$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  là.

Một vật chuyển động theo quy luật S=$\frac{-1}{2}{t}^3+9t^2+5$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 8 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ và trục hoành.

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=$5^x$ thỏa mãn f(0)=$\frac{1}{\ln 5}$. Tính giá trị biểu thức T=F(0)+F(1)+F(2)+...+F(2017)

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=|1+x|-|1-x| trên tập R và thỏa mãn F(1)= 3.Tính tổng F(0)+F(2)+F(-3).

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) + f($\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x$)=$\frac{1}{2}\frac{\sin x}{\cos x(8{\cos }^{3}x+1)}$, $\forall x\in R$ Biết tích phân I=${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng I=$\frac{a}{b}\ln \frac{c}{d};a,b,c,d \in Z$ và các phân số $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính S=$a^3+ab-c+d$

Cho ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}g\left(x\right)dx=-1$. Tính I=${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left(2f\right(x)+x\sin x-3g(x\left)\right)dx$ 

Cho ${\int }_0^1(\frac{3}{x+3}-\frac{10}{{(x+3)}^2})dx=3\ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6}$, trong đó a, b là 2 số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Biết rằng ${\int }_0^5\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx=a\sqrt{6}-\frac{b}{c}$, trong đó $a,b,c\in N$ đồng thời $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a + b + c.

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm f'(x)  liên tục trên [1;4], f(1)=12  và ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=17$  Giá trị của f(4)  bằng

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=\sqrt{x{e}^x}$ và các đường thẳng x = 1, x = 2,  y = 0. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^4+3}{x^2}$ là