Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung

Giải Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Video Giải Bài tập 14 trang 72 Toán lớp 9 Tập 2

Bài tập 14 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2:

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Lời giải:

a)

Mệnh đề: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Chứng minh:

Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và MN là đường kính.

Do M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên ta có:

$\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}$

Mà dây MA chắn cung nhỏ AM, dây MB chắn cung nhỏ MB

 MA = MB (1)

Ta lại có: OA = OB (2) (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM là đường trung trực của AB

Hay MN là đường trung trực của AB

Do đó , MN đi qua trung điểm của AB (đcpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh:

Giả sử đường kính MN đi qua trung điểm H của dây AB

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Có: H là trung điểm của AB

Do đó, OH là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác của góc AOB

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ AM

Góc BOM chắn cung nhỏ BM

Do đó, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (đcpcm)

Điều này chỉ đúng khi dây AB không đi qua O

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b)

Mệnh đề: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

Giả sử đường kính MN đi qua M là điểm chính giữa cung AB

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên ta có:

$\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}$

Mà dây MA chắn cung nhỏ AM, dây MB chắn cung nhỏ MB

 MA = MB (1)

Ta lại có: OA = OB (2) (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM là đường trung trực của AB

Hay MN là đường trung trực của AB

$\Rightarrow MN\perp AB$  (đcpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy.

Chứng minh:

Giả sử đường kính MN vuông góc với dây AB tại H

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Có: OH vuông góc với AB tại H (do MN vuông góc với dây AB tại H)

Do đó, OH là đường cao và cũng là đường phân giác

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ AM

Góc BOM chắn cung nhỏ BM

Do đó, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (đcpcm)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 71 Toán 9 Tập 2: Hãy chứng minh định lí:..

Câu hỏi 2 trang 71 Toán 9 Tập 2: Xem hình 11. Hãy viết giả thiết...

Bài tập 10 trang 71 Toán 9 Tập 2: a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm...

Bài tập 11 trang 72 Toán 9 Tập 2: Cho hai đường tròn bằng nhau...

Bài tập 12 trang 72 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB...

Bài tập 13 trang 72 Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng trong một đường...