Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2.17 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha$

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD

Hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại I, $\widehat{AIB}=\alpha$ là góc nhọn

Kẻ AH vuông góc với BD tại H

Kẻ CK vuông góc với BD tại K

Xét tam giác AHI vuông tại H

Ta có:  $\sin \widehat{AIH}=\frac{AH}{AI}$

$\Rightarrow AH=AI.\sin \widehat{AIH}=AI.\sin \alpha$ 

Xét tam giác CKI vuông tại K

Ta có:  $\sin \widehat{CIK}=\frac{CK}{CI}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow CK=CI.\sin \widehat{CIK} \\ =CI.\sin \widehat{AIH}=CI.\sin \alpha \end{gathered}$$

 (do $\widehat{CIK}$và $\widehat{AIH}$ là hai góc đối đỉnh bằng nhau)

Xét tam giác ABD có đường cao AH

Diện tích tam giác ABD là:

$S_{ABD}=\frac{1}{2}.AH.BD=\frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha$

Xét tam giác CBD có đường cao CK

Diện tích tam giác CBD là:

$S_{CBD}=\frac{1}{2}.CK.BD=\frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha$

Từ đó, diện tích của tứ giác ABCD là:

$$\begin{gathered} S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD} \\ \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha +\frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \\ \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.\sin \alpha .(AI+CI) \\ \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.\sin \alpha .CA \\ \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD.CA.\sin \alpha \end{gathered}$$

 (điều cần phải chứng minh)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 21 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn...

Bài 22 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 23 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 24 trang 106 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 25 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tìm giá trị x...

Bài 26 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 27 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 28 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác...

Bài 29 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính...

Bài 30 trang 107 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao MQ của tam giác vuông MNP...

Bài 31 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc ${60}^o$của một tam giác vuông bằng 3...

Bài 32 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6; đoạn thẳng AD bằng 5...

Bài 33 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho $cos\alpha =0,8$...

Bài 34 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tìm $\sin \alpha , cos\alpha$...

Bài 35 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Dựng góc nhọn $\alpha$, biết rằng...

Bài 36 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ...

Bài 37 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 12. Hãy viết một phương trình để từ đó có thể tìm được x...

Bài 38 trang 108 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 13. Hãy tính sinL ...

Bài tập bổ sung:

Bài 2.1 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.2 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.3 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.4 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.5 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.6 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.7 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.8 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.9 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.10 trang 109 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.11 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình bs.4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11...

Bài 2.12 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{1}{2}$...

Bài 2.13 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho $cos\alpha =\frac{3}{4}$...

Bài 2.14 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 2.15 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính...

Bài 2.16 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC ...

Bài 2.18 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho góc nhọn $\alpha$...

Bài 2.19 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức...

Bài 2.20 trang 110 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong hình thang vuông ABCD với các đáy là AD...

Bài 2.21 trang 111 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tính các góc của một hình thoi...

Bài 2.22 trang 111 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Các cạnh của một hình chữ nhật bằng 3cm...