Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 7: Phép đồng dạng

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 11: Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Ta có J là trung điểm IC (giả thiết).

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{CI}}=2\overrightarrow{\mathrm{CJ}}$.

Do đó V_{(C, 2)}(J) = I.

Chứng minh tương tự, ta được V_{(C, 2)}(L) = K, V_{(C, 2)}(K) = B, V_{(C, 2)}(I) = A.

Vì vậy V_{(C, 2)} biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA.

Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra I là trung điểm BD.

Do đó Đ_I(B) = D.

Chứng minh tương tự, ta được Đ_I(A) = C, Đ_I(K) = H.

Lại có Đ_I(I) = I.

Do đó Đ_I biến hình thang IKBA thành hình thang IHDC.

Vì vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm C, tỉ số 2 và phép đối xứng tâm I biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC.

Vậy hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.