Tìm phép đồng dạng biến hình (A) thành hình (C)

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 7: Phép đồng dạng

Vận dụng 1 trang 39 Chuyên đề Toán 11: Tìm phép đồng dạng biến hình (A) thành hình (C).

Lời giải:

Gọi f là phép đồng dạng cần tìm.

⦁ Để tìm phép biến hình biến hình (A) thành hình (B), ta tìm phép biến hình biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta thấy các đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại I.

Xét phép vị tự tâm I, tỉ số k biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’.

Ta có V_{(I, k)}(M) = M’.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ và OM’ = |k|.OM.

Vì M, M’ nằm cùng phía đối với I nên k > 0.

Do đó $k=\frac{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}{\mathrm{OM}}$.

Tương tự ta cũng có $k=\frac{{\mathrm{ON}}^{\text{'}}}{\mathrm{ON}},k=\frac{{\mathrm{OP}}^{\text{'}}}{\mathrm{OP}},k=\frac{{\mathrm{OQ}}^{\text{'}}}{\mathrm{OQ}}$

Do đó $k=\frac{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}{\mathrm{OM}}=\frac{{\mathrm{ON}}^{\text{'}}}{\mathrm{ON}}=\frac{{\mathrm{OP}}^{\text{'}}}{\mathrm{OP}}=\frac{{\mathrm{OQ}}^{\text{'}}}{\mathrm{OQ}}$

Vì vậy $V_{\left(I,\frac{{\mathrm{OM}}^{\text{'}}}{\mathrm{OM}}\right)}$ là phép biến hình biến hình (A) thành hình (B).

⦁ Ta thấy OP’ = OP” và $\hat{P^{\text{'}}O{P^{\text{'}}}^{\text{'}}}=90°$.

Suy ra phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm P’ thành điểm P”.

Chứng minh tương tự, ta thấy Q_{(O, 90°)} cũng biến các điểm khác trên hình (B) thành các điểm có vị trí tương ứng trên hình (C).

Vì vậy Q_{(O, 90°)} biến hình (B) thành hình (C).

⦁ Xét hai điểm N, P, ta có:

+) N’ = V_{(I, k)}(N) và N” = Q_{(O, 90°)}(N’);

+) P’ = V_{(I, k)}(P) và P” = Q_{(O, 90°)}(P’).

Do đó:

+) N’P’ = V_{(I, k)}(NP). Suy ra N’P’ = k.NP;

+) N”P” = Q_{(O, 90°)}(N’P’). Suy ra N”P” = N’P’.

Vì vậy N”P” = N’P’ = k.NP.

Vậy f là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) biến (A) thành (C) thỏa mãn (B) = V_{(I, k)}((A)) và (C) = Q_{(O, 90°)}((B));

2. Hai hình đồng dạng