Câu hỏi:
17/06/2026 466
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\).
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
Biểu thức \(\frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\) có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x2.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).
+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (1; +∞).
+) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 1 = 3\);
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + {x^2}} \right) = 1 + {1^2} = 2\].
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\), do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.
Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.
Lời giải:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\)
Biểu thức \(\frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\) có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x2.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).
+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (1; +∞).
+) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 1 = 3\);
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + {x^2}} \right) = 1 + {1^2} = 2\].
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\), do đó không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = 1.
Khi đó, hàm số f(x) không liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 1), (1; +∞) và gián đoạn tại x = 1.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = 3\). Tính g(1).
Câu 2:
Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.
Câu 3:
Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục.
Câu 4:
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Giá mở cửa
(0,5 km đầu)
Giá cước các km tiếp theo đến 30 km
Giá cước từ km thứ 31
10 000 đồng
13 500 đồng
11 000 đồng
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
|
Giá mở cửa (0,5 km đầu) |
Giá cước các km tiếp theo đến 30 km |
Giá cước từ km thứ 31 |
|
10 000 đồng |
13 500 đồng |
11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x \ne 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x = 1.\end{array} \right.\)
Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với f(1).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x \ne 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x = 1.\end{array} \right.\)
Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với f(1).
Câu 6:
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 0\\{x^2}\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x > 0\end{array} \right.\) tại điểm x0 = 0.
Câu 7:
Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.
b) Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) và so sánh L với f(1) + g(1).
Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.
b) Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) và so sánh L với f(1) + g(1).
Câu 8:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\\ - x + m\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\end{array} \right.\)
liên tục trên ℝ.
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\\ - x + m\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\end{array} \right.\)
liên tục trên ℝ.
Câu 9:
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\) và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\) và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
