Câu hỏi:
17/06/2026 210Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\] Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Giả sử R(x0; y0) là điểm cần tìm.
Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:
+) \(\overrightarrow {RM} = \left( { - 2 - {x_0};1 - {y_0}} \right)\)
+) \(\overrightarrow {RN} = \left( {4 - {x_0};5 - {y_0}} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {RN} = \left( {8 - 2{x_0};10 - 2{y_0}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \left( { - 2 - {x_0} + 8 - 2{x_0};1 - {y_0} + 10 - 2{y_0}} \right)\)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \left( {6 - 3{x_0};11 - 3y{ & _0}} \right)\]
Do đó \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 3{x_0} = 0\\11 - 3{y_0} = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\] \( \Rightarrow R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {PQ} = \left( { - 3;11} \right)\)và \(\overrightarrow {QR} = \left( {2;\frac{{11}}{3} - 11} \right) = \left( {2;\frac{{ - 22}}{3}} \right)\)
Có: \(\frac{{ - 3}}{2} = \frac{{11}}{{\frac{{ - 22}}{3}}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {QR} \) cùng phương
Do đó P, Q, R thẳng hàng
Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) có độ dài ngắn nhất.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).
Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 5:
Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.
Câu 6:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.
Câu 7:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm Q đối xứng với N qua Oy.
Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \[\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\]
Câu 9:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho \(\left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 10:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.\)
Câu 11:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.
Câu 12:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Câu 13:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.
Câu 14:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm R đối xứng với M qua trục hoành.
