Câu hỏi:
17/06/2026 976Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) có độ dài ngắn nhất.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Giả sử E(0; yE) là điểm thuộc trục tung.
Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:
\[\overrightarrow {EC} = & & \left( {1;6 - {y_E}} \right)\] và \(\overrightarrow {ED} = \left( {11;2 - {y_E}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \left( {1 + 11;6 - {y_E} + 2 - {y_E}} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \left( {12;8 - 2{y_E}} \right)\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} } \right| = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {8 - 2{y_E}} \right)}^2}} \)
Vì (8 – 2yE)2 ≥ 0 ∀ yE
Nên 122 + (8 – 2yE)2 ≥ 122 ∀ yE
Hay \(\sqrt {{{12}^2} + {{\left( {8 - 2{y_E}} \right)}^2}} \ge 12\) ∀ yE
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} } \right| \ge 12\) ∀ yE
Do đó độ dài của vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) nhỏ nhất bằng 12
Dấu “=’ xảy ra 8 – 2yE = 0
yE = 4
Vậy với E(0; 4) thì vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) có độ dài ngắn nhất.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).
Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 4:
Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.
Câu 6:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\] Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.
Câu 7:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm Q đối xứng với N qua Oy.
Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).
Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \[\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\]
Câu 9:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho \(\left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 10:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).
Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.\)
Câu 11:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).
Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.
Câu 12:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Câu 13:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.
Câu 14:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).
Tìm toạ độ của điểm R đối xứng với M qua trục hoành.
