Câu hỏi:
17/06/2026 6,321Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB ⊥ AD và AB = AD
• Với AB ⊥ AD ta có \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \)
Mà \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \) (theo câu a)
Nên \[\overrightarrow {AD} \] cùng phương với \[\overrightarrow {AC} \]
Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.
\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {a - 2;b - 1} \right)\)
Mà \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right)\)
Do đó \[\overrightarrow {AD} \] cùng phương với \[\overrightarrow {AC} \] khi và chỉ khi:
\(\frac{{a - 2}}{1} = \frac{{b - 1}}{{ - 1}}\) a – 2 = 1 – b
b – 1 = 2 – a (4)
• Với AB = AD ta có AB2 = AD2
\( \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\)
8 = (a – 2)2 + (2 – a)2 (do b – 1 = 2 – a)
8 = 2.(a – 2)2
(a – 2)2 = 4
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 = - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 0\end{array} \right.\)
Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 b = –1 ta có điểm D1(4; –1).
Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 b = 3 ta có điểm D2(0; 3).
Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D1(4; –1) và D2(0; 3).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Câu 4:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10.\)
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\)
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.
Câu 6:
Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.
Câu 7:
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn MP.
Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 9:
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
Câu 10:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Câu 11:
Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Câu 12:
Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.
Câu 13:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
Câu 14:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.
Câu 15:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
AM vuông góc với DE;
