Câu hỏi:
17/06/2026 375Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC ⊥ BD tại I.
• I là trung điểm của AC nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 9}}{2} = 5\\{y_I} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\end{array} \right.\) I(5; 3)
Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)
Vì I là trung điểm của BD nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{x + a}}{2}\\3 = \frac{{y + b}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10 - x\\b = 6 - y\end{array} \right.\] D(10 – x; 6 – y)
Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:
\(\overrightarrow {AC} = \left( {8; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( {10 - 2x;6 - 2y} \right)\)
• AC ⊥ BD \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\]
8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0
80 – 16x – 12 + 4y = 0
4y = 16x – 68
y = 4x – 17 (với y < 0)
• AC = BD AC2 = BD2
82 + (–2)2 = (10 – 2x)2 + (6 – 2y)2
64 + 4 = (10 – 2x)2 + [6 – 2(4x – 17)]2
(10 – 2x)2 + (6 – 8x + 34)2 = 68
(10 – 2x)2 + (40 – 8x)2 = 68
4.(x – 5)2 + 64.(x – 5)2 = 68
(x – 5)2 = 1
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 1\\x - 5 = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 4\end{array} \right.\)
Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)
Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)
Khi đó ta có điểm B(4; –1)
Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).
Vậy B(4; –1) và D(6; 7).
</></></></>
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 4:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10.\)
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\)
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.
Câu 6:
Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.
Câu 7:
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn MP.
Câu 8:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 9:
Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.
Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
Câu 10:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Câu 11:
Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Câu 12:
Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.
Câu 13:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
Câu 14:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.
Câu 15:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
AM vuông góc với DE;
