Câu hỏi:
23/07/2024 222Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=25 cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi 8π. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. 40
B. 4
C. 20
D. 30
Trả lời:

Đáp án A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là xa+yb+zc=1.
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có 2a+4b+5c=1 và có vectơ pháp tuyến →n=(1a;1b;1c).
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có →IM=(1;2;2) nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng 8π suy ra bán kính r = 4.
Ta có IH=√R2−r2=√52−42=3(2)
Vì IH⊥(ABC) và M∈(ABC) nên IM≥IH (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay M≡H.
Khi đó IM⊥(ABC) nên →IM là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra →n=k→IM(k≠0)⇔{1a=k.1b=2k1c=2k.
Vì 2a+4b+5c=1 nên 2k+8k+10k=1⇔k=120.
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Số lượng động vật nguyên sinh tăng trưởng với tốc độ 79,44%/ngày. Giả sử vào cuối ngày đầu tiên, số lượng động vật nguyên sinh là 2 con. Hỏi sau 6 ngày (kể cả ngày đầu tiên), số lượng động vật nguyên sinh là bao nhiêu con?
Câu 2:
Biết rằng đường thẳng y=-2x+2 cắt đồ thị hàm số y=x3+x+2 tại điểm duy nhất có tọa độ (x0;y0). Tìm y0.
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Câu 5:
Cho →u=(2;−1;1),→v=(m;3;−1),→w=(1;2;1). Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
Câu 6:
Cho a, b là các số thực dương khác 1. Các hàm số y=ax và y=bx có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng bất kỳ song song với trục hoành và cắt đồ thị hàm số y=ax và y=bx, trục tung lần lượt tại M, N, A đều thỏa mãn AN = 2AM. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 7:
Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=200−20t m/s. Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu di chuyển được quãng đường là bao nhiêu mét?
Câu 9:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục [-3; 3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y=f'(x). Biết f(1)=6 và f' Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 10:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng
Câu 11:
Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
Câu 14:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 0; 1), B(-2;1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là