Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

Cho hình bát diện đều cạnh 4a. Gọi S là tổng diện tích của tất cả các mặt của hình bát diện đều đó. Khi đó S bằng:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=x^3-m{x}^2+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right).$Số phần tử của tập S là

Cho phương trình ${\left({\log }_{3}3x\right)}^2-4{\log }_{3}x-4=0$. Bằng cách đặt $t={\log }_{3}x$ phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Đạo hàm của hàm số $y={\log }_2\left(x^2-x+2\right)$ là 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f\left(4^x\right)-2m+9=0$ có nghiệm là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x^2{\left(5x-2\right)}^3\left(x+1\right).$ Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(\frac{x}{x^2+1}\right)$ là

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 3; 4) trên trục Oz có tọa độ là

Cho hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a. Thể tích của khối nón theo a là