Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

Cho hình bát diện đều cạnh 4a. Gọi S là tổng diện tích của tất cả các mặt của hình bát diện đều đó. Khi đó S bằng:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=x^3-m{x}^2+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right).$Số phần tử của tập S là

Cho phương trình ${\left({\log }_{3}3x\right)}^2-4{\log }_{3}x-4=0$. Bằng cách đặt $t={\log }_{3}x$ phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f\left(4^x\right)-2m+9=0$ có nghiệm là

Đạo hàm của hàm số $y={\log }_2\left(x^2-x+2\right)$ là 

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f(x) là

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt đồng thời cả ba chữ số 1, 2 và 3 là

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x\sqrt{1+\ln x}},\forall x\in \left(\frac{1}{e};+\infty \right)$ thỏa mãn F(1) = 2. Giá trị của $F\left(e^8\right)$ là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x^2{\left(5x-2\right)}^3\left(x+1\right).$ Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(\frac{x}{x^2+1}\right)$ là