Câu hỏi:
17/06/2026 309
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{1} = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right|.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x.\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9 + \frac{3}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{1} = 3\).CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t2 – t3 (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t1, t2 là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t2 – t3 (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t1, t2 là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Câu 2:
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\).
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\).
Câu 3:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
Câu 4:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
B. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0.
c. Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
D. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
B. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0.
c. Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
D. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
Câu 5:
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\);
Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\);
Câu 6:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 3} }}{{x + 1}}\);
Câu 7:
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3f\left( x \right)\).
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3f\left( x \right)\).
Câu 8:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).
Câu 9:
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\);
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\);
Câu 10:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\).
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{ - {x^2} + 2x + 15}}{{{x^2} + 4x + 3}}\).
Câu 11:
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).
Câu 12:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\);
Câu 13:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4} \);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {3{x^2} + 5x + 4} \);Câu 14:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{3x + 1}}\);Câu 15:
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).
Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).
