Câu hỏi:
19/08/2026 48
Tính các giới hạn sau:
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right).\] b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}.\]
Tính các giới hạn sau:
a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right).\] b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}.\]
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \[1 + n - {n^2} = {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right).\]
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty ;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 0 + 0 - 1 = - 1 < 0.\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = - \infty .\)
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = 3.\]
a) Ta có: \[1 + n - {n^2} = {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right).\]
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2} = + \infty ;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 0 + 0 - 1 = - 1 < 0.\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}.\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1} \right) = - \infty .\)
b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{{2^2} + 2.2 + 4}}{{2 + 2}} = 3.\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho \(\sin x = \frac{2}{3}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin 2x.\cos x\) bằng
Câu 2:
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
Câu 5:
Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a.\)
Câu 6:
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây đúng?
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không có điểm chung. Kết luận nào sau đây đúng?
Câu 7:
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\) là
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\) là
Câu 8:
Trên đường tròn lượng giác, gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Trên đường tròn lượng giác, gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Câu 9:
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Câu 10:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ \(10\) của cấp số nhân là
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ \(10\) của cấp số nhân là
Câu 11:
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^3}}}{{a{n^3} + 2}} = 4\) với \(a\) là tham số. Khi đó \(a - {a^2}\) bằng
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^3}}}{{a{n^3} + 2}} = 4\) với \(a\) là tham số. Khi đó \(a - {a^2}\) bằng
Câu 12:
Cho các hàm số \(y = \cos x\,\,\,\left( I \right)\), \(y = \sin \sqrt x \,\,\left( {II} \right)\) và \(y = \tan x\,\,\,\left( {III} \right)\). Hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Cho các hàm số \(y = \cos x\,\,\,\left( I \right)\), \(y = \sin \sqrt x \,\,\left( {II} \right)\) và \(y = \tan x\,\,\,\left( {III} \right)\). Hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Câu 15:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 3 của dãy số đó là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 3 của dãy số đó là:
