Tìm m để $2x^3+3{\left(m-1\right)}^2+6\left(m-2\right)x+2017$ nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b-a>3

Lời giải

Ta có: $y^{\prime }=6x^2+6\left(m+1\right)x+6m-12$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng  khi a, b là nghiệm của phương trình y' = 0.

Ta có $\mathrm{\Delta }={\left(m-1\right)}^2-4\left(m-2\right)=m^2-6m+9$ 

$={\left(m-3\right)}^2\Rightarrow m\ne 3.$

Khi đó ta có $a+b=1-m;ab=m-2.$ 

Ta có: $b-a>3\iff {\left(b-a\right)}^2>9\iff {\left(b+a\right)}^2-4ab>9$

$\iff {\left(1-m\right)}^2-4{\left(m-2\right)}^2>9\iff m^2-6m>0\iff [\begin{array}{c}m>6\\ m<0\end{array}$

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

*Lý thuyết:

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$ $\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}K$ thì f(x) không đổi trên K.

Xem thêm

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2025) và cách giải